Wikipedia

Bất đẳng thức Bernoulli là gì? Chi tiết về Bất đẳng thức Bernoulli mới nhất 2023

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng
Bước tới tìm kiếm

Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x.

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

{displaystyle (1+x)^{r}geq 1+rx!}

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

{displaystyle (1+x)^{r}>1+rx!}

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.

Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Chứng minh:

Khi r=0, bất đẳng thức trở thành

{displaystyle (1+x)^{0}geq 1+0x}

${displaystyle (1+x)^{0}geq 1+0x}$ tức là

{displaystyle 1geq 1}

${displaystyle 1geq 1}$ mà rõ ràng đúng.

Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k:

{displaystyle (1+x)^{k}geq 1+kx}

${displaystyle (1+x)^{k}geq 1+kx}$

Cần chứng minh:

{displaystyle (1+x)^{k+1}geq 1+(k+1)x}

${displaystyle (1+x)^{k+1}geq 1+(k+1)x}$

Thật vậy,

{displaystyle (1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^{k}geq (1+x)(1+kx)}

${displaystyle (1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^{k}geq (1+x)(1+kx)}$ (vì theo giả thiết

{displaystyle (1+x)geq 0}

${displaystyle (1+x)geq 0}$ )

{displaystyle =1+kx+x+kx^{2}=1+(k+1)x+kx^{2}geq 1+(k+1)x}

${displaystyle =1+kx+x+kx^{2}=1+(k+1)x+kx^{2}geq 1+(k+1)x}$ (vì

{displaystyle kx^{2}geq 0}

${displaystyle kx^{2}geq 0}$ )

=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.

Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi

{displaystyle rgeq 0 Box ;}

${displaystyle rgeq 0 Box ;}$

Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì

{displaystyle (1+x)^{r}geq 1+rx!}

với r ≤ 0 hoặc r ≥ 1, và

{displaystyle (1+x)^{r}leq 1+rx!}

với 0 ≤ r ≤ 1.

Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm.

Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên.

Các bất đẳng thức liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có

{displaystyle (1+x)^{r}<e^{rx},!}

với e = 2.718….
Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)^k < e.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bất_đẳng_thức_Bernoulli&oldid=26739458”

Thể loại:

Bất đẳng thức

Thể loại ẩn:

Tất cả bài viết sơ khai
Sơ khai

Từ khóa: Bất đẳng thức Bernoulli, Bất đẳng thức Bernoulli, Bất đẳng thức Bernoulli

LADIGI – Công ty dịch vụ SEO từ khóa giá rẻ, SEO từ khóa, SEO tổng thể cam kết lên Top Google uy tín chuyên nghiệp, an toàn, hiệu quả.

Nguồn: Wikipedia

La Trọng Nhơn

Tôi là La Trọng Nhơn - người xây dựng nên LADIGI.VN, tôi có niềm đam mê với Digital Marketing. Tôi muốn xây dựng website này để chia sẻ đến những bạn gặp khó khăn khi bắt đầu vào nghề, có thể tiếp cận kiến thức đúng đắn và thực tế thông qua website này.

100 lần tự tìm hiểu cũng không bằng 1 lần được tư vấn