Cùng Đọc tài liệu điểm danh những kiến thức cơ bản đối với BĐT Bunhiacopxki em nhé:

Kiến thức cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường

1. Dạng bài toán áp dụng bất đẳng thức này khá thông dụng trong chương trình học của các em:

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

Chứng minh: 

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²

↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² – 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad – bc)² ≥ 0 => luôn đúng

Dấu ” = ” xảy ra khi (displaystyle frac ac=frac bd)

2. Với a,b,x,y là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau:

– ((ax + by)^2 le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2))

Dấu bằng xảy ra khi (displaystyle frac xa=frac yb)

– (dfrac(a+b)^2x+y le dfraca^2x+dfracb^2y)

(với x,y > 0, a,b là số thực)

3. Với bộ 3 số a, b, c và x, y, z ta có:

– ((ax+by+cz)^2 le (a^2 +b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2))

Dấu bằng xảy ra khi  (dfracxa= dfracyb= dfraczc)

– (dfrac(a+b+c)^2x+y+z le dfraca^2x+dfracb^2y+dfracc^2z)

(x,y,z >0, a,b là số thực)

Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp

Dạng 1

Cho hai dãy số thực (​​​​a_1,a_2,…a_n) và  (b_1,b_2,…b_n) ta có:

((a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2leq (a_1^2+a_2^2…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2…+b_n^2))

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

Đây là công thức do ba nhà toán học độc lập Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz phát hiện và đề xuất.

Chứng minh: 

Đặt (A=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2,B=b_1^2+b_2^2+…+b_n^2,C=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)

=> Chúng ta cần phải chứng minh được A.B > C²

Nếu A = 0 thì (​​​​a_1=a_2=…a_n), bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

Với mọi x ta có:

((a_1x-b_1)^2geq 0Rightarrow a_1^2x^2-2a_1b_1x+b_1^2geq 0 )

((a_2x-b_2)^2geq 0Rightarrow a_2^2x^2-2a_2b_2x+b_2^2geq 0 )

………

((a_nx-b_n)^2geq 0Rightarrow a_n^2x^2-2a_nb_nx+b_n^2geq 0)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên được:

((a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+…+b_n^2)geq 0)

tức là Ax² – 2Cx + B ≥ 0 (1)

Vì (1) đúng với mọi x nên thay (x=fracCA)  vào (1) ta được:

(A.fracC^2A^2-2.fracC^2A+Bgeq 0Rightarrow B-fracC^2Ageq 0Rightarrow AB-C^2geq 0Rightarrow ABgeq C^2)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

(a_1x=b_1,a_2x=b_2,…,a_nx=b_n)

tức là (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n) với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0 => đpcm

Một số dạng Bất đẳng thức Bunhiacopxki khác mà em có thể tham khảo:

Dạng 2:

(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 right)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 right)ge left| a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n right|)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)

Dạng 3:

(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 right)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 right)ge a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n ≥ 0)

Dạng 4: 

Cho hai dãy số tùy ý (​​​​a_1,a_2,…, a_n) và  (x_1,x_2,… , x_n) ta có: với (x_1,x_2,… , x_n)> 0

Khi đó ta có:

(displaystyle fraca_1^2x_1+fraca_2^2x_2+…+fraca_n^2x_nge frac{{left( a_1+a_2+…+a_n right)^2}}x_1+x_2+…+x_n)

Dấu bằng xảy ra khi:  (displaystyle frac{a_1}x_1=frac{a_2}x_2=…=frac{a_n}x_nge 0)

Lưu ý khi biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là ta có thể đổi biến:

Sai lầm thường gặp khi áp dụng Bunhiacopxki

Cho a là số thức dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(displaystyle A=a^2+frac1a^2)

Hướng dẫn:

Ví dụ minh họa

Tham khảo 2 bài toán áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki trong các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(displaystyle A=sqrta^2+frac1a^2+sqrtb^2+frac1b^2)

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(displaystyle left{ beginarraylsqrta^2+frac1a^2=frac1sqrt17.sqrt{left( a^2+frac1a^2 right).left( 4^2+1^2 right)}ge frac1sqrt17left( 4a+frac1a right)\sqrtb^2+frac1b^2=frac1sqrt17.sqrt{left( b^2+frac1b^2 right).left( 4^2+1^2 right)}ge frac1sqrt17left( 4b+frac1b right)endarray right.)

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

(displaystyle sqrtfraca+ba+b+c+sqrtfracb+ca+b+c+sqrtfracc+aa+b+cle sqrt6)

Bài làm

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được