Biến đổi tuyến tính là gì? Ma trận, ảnh của vecto qua phép biến đổi tuyến tính mới nhất 2022

Biến đổi tuyến tính là gì?

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ

V

W

{displaystyle Vrightarrow W}

giữa hai mô đun (cụ thể, hai không gian vectơ) mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính. Nếu ánh xạ tuyến tính là một song ánh thì nó được gọi là đẳng cấu tuyến tính.

Một trường hợp quan trọng là khi

V
=
W

{displaystyle V=W}

, khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) trong

V

{displaystyle V}

. Đôi khi thuật ngữ toán tử tuyến tính chỉ ánh xạ trong trường hợp này,[1] nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

là các không gian vectơ thực (không nhất thiết là

V
=
W

{displaystyle V=W}

),[cần dẫn nguồn] hay để nhấn mạnh rằng

V

{displaystyle V}

là một không gian hàm (đây là một quy ước thông thường trong giải tích hàm).[2] Đôi khi thuật ngữ hàm tuyến tính cũng mang nghĩa là ánh xạ tuyến tính, nhưng không phải trong hình học giải tích.

Một biến đổi tuyến tính luôn là ánh xạ từ một không gian con (tuyến tính) vào một không gian con (có thể với số chiều khác nhau);[3] ví dụ, ánh xạ từ một mặt phẳng đi gốc tọa độ vào một mặt phẳng, vào một đường thẳng hay một điểm. Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các ma trận, các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính quay và phản xạ.

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các mô đun. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, nó là một cấu xạ trong phạm trù các mô đun trên một vành đã cho.

Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên

Một cách chính thức, nếu

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

là các không gian vectơ trên cùng một trường

K

{displaystyle K}

, chúng ta nói rằng ánh xạ

f

:
V

W

{displaystyle mathbf {f} :Vrightarrow W}

là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ

u

,

v


V

{textstyle mathbf {u} ,mathbf {v} in V}

và bất kỳ vô hướng

c

K

{displaystyle cin K}

, chúng ta có

tính cộng / phép toán cộng
tính thuần nhất bậc 1 / phép toán nhân vô hướng

Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định

f

{displaystyle mathbf {f} }

“bảo toàn tổ hợp tuyến tính”, có nghĩa là không quan trọng là ánh xạ được áp dụng trước (vế phải ở các đẳng thức trên) hay sau (vế trái) khi thực hiện các phép toán cộng và nhân vô hướng.

Cho bất kỳ các vectơ

u

1

,

,

u

n


V

{textstyle mathbf {u} _{1},ldots ,mathbf {u} _{n}in V}

và các vô hướng

c

1

,

,

c

n


K
,

{textstyle c_{1},ldots ,c_{n}in K,}

bởi tính kết hợp của phép cộng chúng ta có[4][5]

 

f

(

c

1

u

1

+

+

c

m

u

m

)
=

c

1

f

(

u

1

)
+

+

c

m

f

(

u

m

)
.

{displaystyle mathbf {f} (c_{1}u_{1}+cdots +c_{m}u_{m})=c_{1}mathbf {f} (u_{1})+cdots +c_{m}mathbf {f} (u_{m}).}

Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

tương ứng là

V

{textstyle mathbf {0} _{V}}

W

{textstyle mathbf {0} _{W}}

, ta suy ra

f
(

V

)
=

W

.

{textstyle f(mathbf {0} _{V})=mathbf {0} _{W}.}

Cho

c
=

{displaystyle c=0}

v


V

{textstyle mathbf {v} in V}

trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:

 

f
(

V

)
=
f
(

v

)
=

f
(

v

)
=

W

.

{displaystyle f(mathbf {0} _{V})=f(0mathbf {v} )=0f(mathbf {v} )=mathbf {0} _{W}.}

Thông thường,

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa “tuyến tính”. Nếu

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

là các không gian trên trường

K

{displaystyle K}

như xác định ở trên, chúng ta nói về

K

{displaystyle K}

-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy liên hợp của một số phức là một

R

{displaystyle mathbb {R} }

-ánh xạ tuyến tính

C

C

{displaystyle mathbb {C} rightarrow mathbb {C} }

, nhưng nó không phải là

C

{displaystyle mathbb {C} }

-tuyến tính, trong đó các trường

R

{displaystyle mathbb {R} }

C

{displaystyle mathbb {C} }

tương ứng là các trường số thực và số phức.

Một ánh xạ tuyến tính

V

K

{displaystyle Vrightarrow K}

với trường

K

{displaystyle K}

được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.[6]

Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ

R

M

{textstyle {}_{R}M}

trên một vành

R

{displaystyle R}

mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng.

Các ví dụ

  • Ví dụ đơn giản nhất bắt nguồn cho các ánh xạ tuyến tính cái tên của chúng là hàm số
  • Tổng quát hơn, bất kỳ một phép vị tự nào lấy tâm là gốc tọa độ của một không gian vectơ,
  • Ánh xạ không
  • Ánh xạ đồng nhất trên một mô đun bất kỳ là một toán tử tuyến tính.
  • Đối với số thực, ánh xạ
  • Đối với số thực, ánh xạ
  • Nếu

     

    là một ma trận

    m
    ×
    n

    {displaystyle mtimes n}

     

    , thì

    A

    {displaystyle A}

     

    định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ

    R

    n

    {displaystyle mathbb {R} ^{n}}

     

    vào

    R

    m

    {displaystyle mathbb {R} ^{m}}

     

    bằng việc chuyển một vectơ cột

    x

    R

    n

    {displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}

     

    tới một vectơ cột

    A
    x

    R

    m

    {displaystyle Axin mathbb {R} ^{m}}

     

    . Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều xuất hiện theo cách này; xem thêm mục sau.

  • Nếu
  • Phép vi phân định nghĩa một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả vi vào không gian tất cả các hàm số. Nó cũng xác định một toán tử tuyến tính trên không gian các hàm trơn (toán tử tuyến tính này là một tự đồng cấu tuyến tính, tức là một ánh xạ tuyến tính mà miền xác định và miền giá trị là bằng nhau). Ví dụ:
  • Một tích phân xác định trên một đoạn I là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên I vào ℝ. Ví dụ,
  • Một tích phân không xác định (hay nguyên hàm) với một điểm cố định khởi đầu tích phân định nghĩa ra một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên
  • Nếu
  • Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên (thực chất là một hàm, và là phần tử của một không gian vectơ) là tuyến tính, bởi đối với hai biến ngẫu nhiên

     

    Y

    {displaystyle Y}

     

    ta có

    E
    [
    X
    +
    Y
    ] =
    E
    [
    X
    ] +
    E
    [
    Y
    ]

    {displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}

     

    E
    [
    a
    X
    ] =
    a
    E
    [
    X
    ]

    {displaystyle E[aX]=aE[X]}

     

    , nhưng phương sai của một biến ngẫu nhiên không là tuyến tính.

Ma trận

Nếu

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

là các không gian vectơ hữu hạn chiều và một cơ sở được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ

V

{displaystyle V}

vào

W

{displaystyle W}

có thể được biểu diễn bởi một ma trận.[9] Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu

A

{displaystyle A}

là ma trận thực

m
×
n

{displaystyle mtimes n}

, thì

f
(
x
)
=
A
x

{displaystyle f(x)=Ax}

mô tả một ánh xạ tuyến tính

R

n

R

m

{displaystyle mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} ^{m}}

(xem không gian Euclid).

Cho

{

v

1

,

,

v

n

}

{displaystyle {mathbf {v} _{1},cdots ,mathbf {v} _{n}}}

là một cơ sở của V. Vậy thì mỗi vectơ

v


V

{displaystyle mathbf {v} in V}

được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ)

c

1

,

,

c

n

{displaystyle mathbf {c} _{1},cdots ,mathbf {c} _{n}}

trong trường

R

n

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

:

 

c

1

v

1

+

+

c

n

v

n

.

{displaystyle c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n}.}

Nếu

f
:
V

W

{textstyle f:Vrightarrow W}

là một ánh xạ tuyến tính thì ta có

 

f

(

c

1

v

1

+

+

c

n

v

n

)

=

c

1

f

(

v

1

)

+

+

c

n

f

(

v

n

)

,

{displaystyle fleft(c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n}right)=c_{1}fleft(mathbf {v} _{1}right)+cdots +c_{n}fleft(mathbf {v} _{n}right),}

từ điều này suy ra rằng hàm

f

{displaystyle f}

hoàn toàn được xác định bởi các vectơ

f
(

v

1

)
,

,
f
(

v

n

)

{displaystyle f(mathbf {v} _{1}),cdots ,f(mathbf {v} _{n})}

. Ta có

{

w

1

,

,

w

m

}

{displaystyle {mathbf {w} _{1},cdots ,mathbf {w} _{m}}}

là một cơ sở của

W

{displaystyle W}

. Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ

f
(

v

j

)

{displaystyle f(mathbf {v} _{j})}

dưới dạng

 

f

(

v

j

)

=

a

1
j

w

1

+

+

a

m
j

w

m

.

{displaystyle fleft(mathbf {v} _{j}right)=a_{1j}mathbf {w} _{1}+cdots +a_{mj}mathbf {w} _{m}.}

Vì vậy, biến đổi

f

{displaystyle f}

hoàn toàn được xác định bởi các giá trị

a

i
j

{displaystyle a_{ij}}

. Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận

M

{displaystyle M}

với kích thước

m
×
n

{displaystyle mtimes n}

, thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của

f

{displaystyle f}

cho một vectơ bất kỳ trong

V

{displaystyle V}

. Để xây dựng

M

{displaystyle M}

, mỗi cột

j

{displaystyle j}

của

M

{displaystyle M}

là một vectơ

 

(

a

1
j

a

m
j

)

T

{displaystyle {begin{pmatrix}a_{1j}&cdots &a_{mj}end{pmatrix}}^{textsf {T}}}

tương ứng với

f
(

v

j

)

{displaystyle f(mathbf {v} _{j})}

được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột

j

{displaystyle j}

tương ứng với ánh xạ

f
(

v

j

)

{displaystyle f(mathbf {v} _{j})}

thì

 

M

=

(

a

1
j

a

m
j

)

{displaystyle mathbf {M} ={begin{pmatrix} cdots &a_{1j}&cdots \&vdots &\&a_{mj}&end{pmatrix}}}

trong đó

M

{displaystyle M}

là ma trận của biến đổi

f

{displaystyle f}

. Nói cách khác, ở mỗi cột

j
=
1
,

,
n

{displaystyle j=1,cdots ,n}

có một vectơ tương ứng

f
(

v

j

)

{displaystyle f(mathbf {v} _{j})}

với tọa độ

a

1
j

+

+

a

m
j

{displaystyle a_{1j}+cdots +a_{mj}}

là các phần tử của cột

j

{displaystyle j}

. Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn.

Ví dụ của ma trận biến đổi tuyến tính

Trong không gian hai chiều R2 các ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi các ma trận thực 2 × 2 . Dưới đây là một số ví dụ:

  • phép quay (ngược chiều kim đồng hồ)
    • một góc 90 độ:
       

      A

      =

      (


      1

      1

      )

      {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}}}

    • một góc θ:
       

      A

      =

      (

      cos

      θ


      sin

      θ

      sin

      θ

      cos

      θ

      )

      {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{pmatrix}}}

  • phép phản xạ
    • qua trục x:
       

      A

      =

      (

      1


      1

      )

      {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}}

    • qua trục y:
       

      A

      =

      (


      1

      1

      )

      {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}-1&0\0&1end{pmatrix}}}

    • qua một đường thẳng xiên một góc θ:
       

      A

      =

      (

      cos

      2
      θ

      sin

      2
      θ

      sin

      2
      θ


      cos

      2
      θ

      )

      {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}cos {2theta }&sin {2theta }\sin {2theta }&-cos {2theta }end{pmatrix}}}

  • phép phóng tỉ lệ với hệ số nhân 2 theo mọi hướng:
     

    A

    =

    (

    2

    2

    )

    =
    2

    I

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}2&0\0&2end{pmatrix}}=2mathbf {I} }

  • phép trượt ngang:
     

    A

    =

    (

    1

    m

    1

    )

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}1&m\0&1end{pmatrix}}}

  • phép co (squeeze):
     

    A

    =

    (

    k

    1
    k

    )

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}k&0\0&{frac {1}{k}}end{pmatrix}}}

  • phép chiếu lên trục y:
     

    A

    =

    (

    1

    )

    .

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}}.}

Không gian các ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ f: VWg: WZ là tuyến tính, thì ánh xạ hợp

g

f
:
V

Z

{textstyle gcirc f:Vrightarrow Z}

cũng vậy. Từ đây suy ra rằng lớp các không gian vectơ trên một trường cho trước K, cùng với các K-ánh xạ tuyến tính là các cấu xạ, tạo thành một phạm trù.

Ánh xạ ngược của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính.

Nếu

f

1

:
V

W

{textstyle f_{1}:Vrightarrow W}

f

2

:
V

W

{textstyle f_{2}:Vrightarrow W}

là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng

f

1

+

f

2

{displaystyle f_{1}+f_{2}}

cũng tuyến tính, được định nghĩa là

(

f

1

+

f

2

)
(
x
)
=

f

1

(
x
)
+

f

2

(
x
)

{displaystyle (f_{1}+f_{2})(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}

.

Nếu

f
:
V

W

{textstyle f:Vrightarrow W}

là tuyến tính và

α

{textstyle alpha }

là một phần tử của trường bên dưới

K

{textstyle K}

, thì ánh xạ

α
f

{textstyle alpha f}

, định nghĩa bởi

(
α
f
)
(
x
)
=
α
(
f
(
x
)
)

{textstyle (alpha f)(x)=alpha (f(x))}

cũng là tuyến tính.

Vì thế tập hợp

L

(
V
,
W
)

{textstyle {mathcal {L}}(V,W)}

gồm các ánh xạ tuyến tính từ

V

{textstyle V}

vào

W

{textstyle W}

cũng là một không gian vectơ trên trường

K

{textstyle K}

,[10] đôi khi ký hiệu là

Hom

(
V
,
W
)

{textstyle operatorname {Hom} (V,W)}

.[11] Hơn nữa, trong trường hợp

V
=
W

{textstyle V=W}

thì không gian này, ký hiệu

End

(
V
)

{textstyle operatorname {End} (V)}

, là một đại số kết hợp dưới phép hợp ánh xạ, vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới.

Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép cộng ma trận, và phép nhân vô hướng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng.

Tự đồng cấu, tự đẳng cấu

Một biến đổi tuyến tính

f
:
V

V

{textstyle f:Vrightarrow V}

là một tự đồng cấu trên

V

{textstyle V}

; tập hợp các tự đồng cấu

End

(
V
)

{textstyle operatorname {End} (V)}

cùng với phép cộng, phép hợp và phép nhân vô hướng được định nghĩa như trên tạo thành một đại số kết hợp có đơn vị trên trường

K

{textstyle K}

(và cụ thể hơn là một vành). Phần tử đơn vị phép nhân của đại số này là ánh xạ đồng nhất

id
:
V

V

{textstyle operatorname {id} :Vrightarrow V}

.

Một tự đồng cấu trên

V

{textstyle V}

mà đồng thời cũng là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu trên

V

{textstyle V}

. Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu, và tập hợp các tự đẳng cấu trên

V

{textstyle V}

tạo thành một nhóm gọi là nhóm các tự đẳng cấu trên

V

{textstyle V}

và được ký hiệu là

Aut

(
V
)

{textstyle operatorname {Aut} (V)}

hay

GL

(
V
)

{textstyle operatorname {GL} (V)}

. Vì các tự đẳng cấu cũng chính là các tự đồng cấu có ánh xạ ngược dưới phép hợp ánh xạ nên

Aut

(
V
)

{textstyle operatorname {Aut} (V)}

là nhóm các đơn vị trên vành

End

(
V
)

{textstyle operatorname {End} (V)}

.

Nếu

V

{textstyle V}

có số chiều hữu hạn

n

{textstyle n}

, thì

End

(
V
)

{textstyle operatorname {End} (V)}

đẳng cấu với đại số kết hợp gồm các ma trận vuông

n
×
n

{textstyle ntimes n}

với các phần tử trong

K

{textstyle K}

. Nhóm các tự đẳng cấu trên

V

{textstyle V}

đẳng cấu với nhóm tuyến tính tổng quát

GL

(
n
,
K
)

{textstyle operatorname {GL} (n,K)}

gồm các ma trận khả nghịch

n
×
n

{textstyle ntimes n}

với các phần tử trong

K

{textstyle K}

.

Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng

Nếu biến đổi

f
:
V

W

{displaystyle f:Vrightarrow W}

là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của

f

{displaystyle f}

ký hiệu

ker

(
f
)

{displaystyle ker(f)}

, ảnh của

f

{displaystyle f}

hạng của

f

{displaystyle f}

như sau:

 

ker


(
f
)
=
{

x

V
:
f
(
x
)
=

}

{displaystyle operatorname {ker } (f)={,xin V:f(x)=mathbf {0} ,}}

 

im

(
f
)
=
{

f
(
x
)
:
x

V

}

{displaystyle operatorname {im} (f)={,f(x):xin V,}}

 

ker

(
f
)

{displaystyle ker(f)}

là một không gian con của

V

{displaystyle V}

im

(
f
)

{displaystyle operatorname {im} (f)}

là không gian con của

W

{displaystyle W}

. Công thức sau đây được xem là định lý về số chiều:

Số

dim

(
im

(
f
)
)

{displaystyle dim(operatorname {im} (f))}

cũng được gọi là hạng của

f

{displaystyle f}

ký hiệu là

rank

(
f
)

{displaystyle operatorname {rank} (f)}

, hoặc

ρ
(
f
)

{displaystyle rho (f)}

;[13] còn số

dim

(
ker

(
f
)
)

{displaystyle dim(ker(f))}

được gọi là số vô hiệu (nullity) của

f

{displaystyle f}

và ký hiệu là

null

(
f
)

{displaystyle operatorname {null} (f)}

hay

ν
(
f
)

{displaystyle nu (f)}

. Nếu

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

là hữu hạn chiều, và

f

{displaystyle f}

được biểu diễn bởi ma trận

A

{displaystyle A}

, thì hạng và số vô hiệu của

f

{displaystyle f}

tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận

A

{displaystyle A}

.

Phân loại đại số của các biến đổi tuyến tính

Không có cách phân loại các biến đổi tuyến tính nào là triệt để. Sau đây là một số phân loại đặc biệt mà không xét bất kỳ cấu trúc bổ sung nào trên không gian vectơ.

Cho

V

{displaystyle V}

W

{displaystyle W}

là các không gian vectơ trên một trường

F

{displaystyle F}

và cho

T
:
V

W

{displaystyle T:Vrightarrow W}

là một ánh xạ tuyến tính.

Định nghĩa:

T

{displaystyle T}

được gọi là biến đổi đơn ánh hay là một đơn cấu không gian vectơ nếu một trong số các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:

Định nghĩa:

T

{displaystyle T}

được gọi là biến đổi toàn ánh hay một toàn cấu không gian vectơ nếu một trong các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:

Định nghĩa:

T

{displaystyle T}

được gọi là một đẳng cấu nếu nó đồng thời là khả nghịch trái và là khả nghịch phải. Điều này là tương đương với

T

{displaystyle T}

đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh (tức là một song ánh) hay

T

{displaystyle T}

đồng thời là một đơn cấu và là một toàn cấu.

Cho

T
:
V

V

{displaystyle T:Vrightarrow V}

gọi là một tự đồng cấu, ta có:

  • Nếu với một số nguyên dương
  • Nếu
  • Nếu

Chuyển cơ sở

Cho một ánh xạ tuyến tính và là một tự đồng cấu có biểu diễn ma trận là A, đối với cùng một cơ sở B của không gian, A biến đổi tọa độ vectơ [u] thành [v] = A[u]. Khi chuyển từ một cơ sở khác sang B ta thực hiện biến đổi [v] = B[v’].

Thay vào biểu thức thứ nhất ta được

 

B

[

v

]

=
A
B

[

u

]

{displaystyle Bleft[v’right]=ABleft[u’right]}

suy ra

 

[

v

]

=

B


1

A
B

[

u

]

=

A

[

u

]

.

{displaystyle left[v’right]=B^{-1}ABleft[u’right]=A’left[u’right].}

Vì vậy, ma trận của biến đổi ấy trong cơ sở kia là A′ = B−1AB, trong đó B là ma trận của cơ sở đã cho. Hai ma trận AA’ được gọi là hai ma trận đồng dạng.

Ứng dụng

Một ứng dụng cụ thể của ánh xạ tuyến tính là cho các biến đổi hình học, ví dụ như trong đồ họa máy tính, khi các phép di chuyển tịnh tiến, quay và phóng tỉ lệ một đối tượng 2D hoặc 3D được thực hiện nhờ sử dụng một ma trận biến đổi. Các ánh xạ tuyến tính cũng được sử dụng như một cơ chế để mô tả sự thay đổi: như trong giải tích ứng với đạo hàm; hay trong thuyết tương đối, được dùng như một phương tiện để theo dõi các biến đổi cục bộ trong các hệ quy chiếu.

Một ứng dụng khác của các biến đổi tuyến tính là trong việc tối ưu hóa trình biên dịch đối với các đoạn mã lồng nhau, và trong việc song song hóa kỹ thuật biên dịch.

Xem thêm

  • Đại số tuyến tính
  • Ma trận
  • Không gian vectơ
  • Phiếm hàm tuyến tính
  • Giá trị riêng và vectơ riêng

Chú thích

  1. ^ “Linear transformations of
  2. ^ Let
  3. ^ Rudin 1991, tr. 14Here are some properties of linear mappings

 

  • ^ Rudin 1991, tr. 14. Suppose now that X and Y are vector spaces over the same scalar field. A mapping

 

Λ
:
X

Y

{textstyle Lambda :Xto Y}

is said to be linear if

Λ
(
α
x
+
β
y
)
=
α
Λ
x
+
β
Λ
y

{textstyle Lambda (alpha x+beta y)=alpha Lambda x+beta Lambda y}

for all

x
,
y

X

{textstyle x,yin X}

and all scalars

α

{textstyle alpha }

and

β

{textstyle beta }

. Note that one often writes

Λ
x

{textstyle Lambda x}

, rather than

Λ
(
x
)

{textstyle Lambda (x)}

, when

Λ

{textstyle Lambda }

is linear.

  • ^ Rudin 1976, tr. 206. A mapping A of a vector space X into a vector space Y is said to be a linear transformation if:

 

A

(

x

1

+

x

2

)

=
A

x

1

+
A

x

2

,

A
(
c

x

)
=
c
A

x

{textstyle Aleft(mathbf {x} _{1}+mathbf {x} _{2}right)=Amathbf {x} _{1}+Amathbf {x} _{2}, A(cmathbf {x} )=cAmathbf {x} }

for all

x

,

x

1

,

x

2


X

{textstyle mathbf {x} ,mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2}in X}

and all scalars c. Note that one often writes

A

x

{textstyle Amathbf {x} }

instead of

A
(

x

)

{textstyle A(mathbf {x} )}

if A is linear.

  • ^ Rudin 1991, tr. 14.
    Linear mappings of X onto its scalar field are called linear functionals.
  • ^ https://math.stackexchange.com/a/62791/401895
  • ^ Wilansky 2013, tr. 21-26.
  • ^ Rudin 1976, tr. 210

 

Suppose

{

x

1

,

,

x

n

}

{textstyle left{mathbf {x} _{1},ldots ,mathbf {x} _{n}right}}

and

{

y

1

,

,

y

m

}

{textstyle left{mathbf {y} _{1},ldots ,mathbf {y} _{m}right}}

are bases of vector spaces X and Y, respectively. Then every

A

L
(
X
,
Y
)

{textstyle Ain L(X,Y)}

determines a set of numbers

a

i
,
j

{textstyle a_{i,j}}

such that

 

A

x

j

=

i
=
1

m

a

i
,
j

y

i

(
1

j

n
)
.

{displaystyle Amathbf {x} _{j}=sum _{i=1}^{m}a_{i,j}mathbf {y} _{i}quad (1leq jleq n).}

It is convenient to represent these numbers in a rectangular array of

m

{displaystyle m}

rows and

n

{displaystyle n}

columns, called an

m

{displaystyle m}

by

n

{displaystyle n}

matrix:

 

[
A
] =

[

a

1
,
1

a

1
,
2

a

1
,
n

a

2
,
1

a

2
,
2

a

2
,
n

a

m
,
1

a

m
,
2

a

m
,
n

]

{displaystyle [A]={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&ldots &a_{1,n}\a_{2,1}&a_{2,2}&ldots &a_{2,n}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{m,1}&a_{m,2}&ldots &a_{m,n}end{bmatrix}}}

Observe that the coordinates

a

i
,
j

{textstyle a_{i,j}}

of the vector

A

x

j

{textstyle A{mathbf {x} }_{j}}

(with respect to the basis

{

y

1

,

,

y

m

}

{textstyle {mathbf {y} _{1},ldots ,mathbf {y} _{m}}}

) appear in the jth column of

[
A
]

{textstyle [A]}

. The vectors

A

x

j

{textstyle A{mathbf {x} }_{j}}

are therefore sometimes called the column vectors of

[
A
]

{textstyle [A]}

. With this terminology, the range of A is spanned by the column vectors of

[
A
]

{textstyle [A]}

.

  • ^

 

Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 3). Springer Publishing. tr. 52. ISBN 978-3-319-11079-0. ISSN 0172-6056.

  • ^ Tu, Loring (2011). An Introduction to Manifolds. Universitext (ấn bản 2). Springer. tr. 19. ISBN 978-1-4419-7399-3. ISSN 0172-5939.
  • ^ Horn & Johnson 2013, 0.2.3 Vector spaces associated with a matrix or linear transformation, p. 6
  • ^ Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. tr. 52. ISBN 978-0-8218-4419-9.

 

Tham khảo sách

  • Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (ấn bản 3). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (ấn bản 4). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
  • Halmos, Paul R. (1974). Finite-Dimensional Vector Spaces. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4.
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
  • Lang, Serge (1987), Linear Algebra , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6
  • Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (ấn bản 4). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
  • Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (ấn bản 3). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
  • Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (ấn bản 2). Springer. ISBN 978-0-8218-4419-9.


Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Biến_đổi_tuyến_tính&oldid=64860016”

Từ khóa: Biến đổi tuyến tính

phép biến đổi tuyến tính
biến đổi tuyến tính
ma trận của phép biến đổi tuyến tính
ảnh của vecto qua phép biến đổi tuyến tính
cho phép biến đổi tuyến tính
linear transformation là gì
phép biến đổi tuyến tính của ma trận
chứng minh phép biến đổi tuyến tính
ma trận ánh xạ tuyến tính
ánh xạ tuyến tính

LADIGI – Công ty dịch vụ SEO TOP giá rẻ, SEO từ khóa, SEO tổng thể cam kết lên Top Google uy tín chuyên nghiệp, an toàn, hiệu quả.

Scores: 4.8 (176 votes)

Có thể bạn quan tâm  Ode (Thể loại thơ) là gì? Chi tiết về Ode (Thể loại thơ) mới nhất 2021

100 lần tự tìm hiểu cũng không bằng 1 lần được tư vấn