Các bài toán nâng cao lớp 8 học kì 1 có đáp án chi tiết 2023

Dạng 1: Nhân các đa thức

1. Tính giá trị:

B = x¹⁵ – 8x¹⁴ + 8x¹³ – 8x² + … – 8x² + 8x – 5 với x = 7

2. Cho ba số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi đã cho ba số nào?

3. Chứng minh rằng nếu: thì (x² + y² + z²) (a² + b² + c²) = (ax + by + cz)²

Dạng 2: Các hàng đẳng thức đáng nhớ

*Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

*Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

1. Rút gọn các biểu thức sau:

a. A = 100² – 99²+ 98² – 97² + … + 2² – 1²

b. B = 3(2² + 1) (2⁴ + 1) … (2⁶⁴ + 1) + 1²

c. C = (a + b + c)² + (a + b – c)² – 2(a + b)²

2. Chứng minh rằng:

a. a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

b. a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² c² – ab – bc – ca)

Suy ra các kết quả:

i. Nếu a³ + b³ + c³ = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c

ii. Cho  tính 

iii. Cho 

Tính 

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a. A = 4x² + 4x + 11

b. B = (x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)

c. C = x² – 2x + y² – 4y + 7

4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a. A = 5 – 8x – x²

b. B = 5 – x² + 2x – 4y² – 4y

5. a. Cho a² + b² + c² = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c

6. Chứng minh rằng:

a. x² + xy + y² + 1 > 0 với mọi x, y

b. x² + 4y² + z² – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z

7. Chứng minh rằng:

x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

8. Tổng ba số bằng 9, tổng bình phương của chúng bằng 53. Tính tổng các tích của hai số trong ba số ấy.

9. Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

10. Rút gọn biểu thức:

A = (3 + 1) (3² + 1) (3⁴ + 1) … (3⁶⁴ + 1)

11. a. Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương.

b. Chứng minh rằng tổng các bình phương của k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không là số chính phương.

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. x² – x – 6

b. x⁴ + 4x² – 5

c. x³ – 19x – 30

2. Phân tích thành nhân tử:

a. A = ab(a – b) + b(b – c) + ca(c – a)

b. B = a(b² – c²) + b(c² – a²) + c(a² – b²)

c. C = (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³

3. Phân tích thành nhân tử:

a. (1 + x²)² – 4x (1 – x²)

b. (x² – 8)² + 36

c. 81x⁴ + 4

d. x⁵ + x + 1

4. a. Chứng minh rằng: n⁵ – 5n³ + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.

b. Chứng minh rằng: n³ – 3n² – n + 3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n.

5. Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử

1. a³ – 7a – 6

2. a³ + 4a² – 7a – 10

3. a(b + c)² + b(c + a)² + c(a + b)² – 4abc

4. (a² + a)² + 4(a² + a) – 12

5. (x² + x + 1) (x² + x + 2) – 12

6. x⁸ + x + 1

7. x¹⁰ + x⁵ + 1

6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n:

1. n² + 4n + 8 chia hết cho 8

2. n³ + 3n² – n – 3 chia hết cho 48

7. Tìm tất cả các số tự nhiên n để:

1. n⁴ + 4 là số nguyên tố

2. n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 là số nguyên tố

8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

1. x + y = xy

2. p(x + y) = xy với p nguyên tố

3. 5xy – 2y² – 2x² + 2 = 0

Dạng 4: Chia đa thức

1. Xác định a để cho đa thức x³– 3x + a chia hết cho (x – 1)²

2. Tìm các giá trị nguyên của n để là số nguyên

3. Tìm dư trong phép chia đa thức: f(x)+x¹⁹⁹⁴₊x¹⁹⁹³₊1 cho

a. x – 1

b. x² – 1

c. x² + x + 1

4. 1. Xác định các số a va b sao cho:

a. x⁴ + ax² + b chia hết cho:

i. x² – 3x + 2

ii. x² + x + 1

b. x⁴ – x³ – 3x² + ax + b chia cho x² – x – 2 có dư là 2x – 3

c. 2x² + ax + b chia cho x + 1 dư – 6 chia cho x – 2 dư 21

2. Chứng minh rằng

f(x) = (x² – x + 1)¹⁹⁹⁴ + (x² + x – 1)¹⁹⁹⁴ – 2

chia hết cho x – 1. Tìm dư trong phép chia f(x) cho x² – 1

5. Tìm n nguyên để  là số nguyên

6. Chứng minh rằng:

a. 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100

b. 9 . 10ⁿ + 18 chia hết cho 27

c. 16ⁿ – 15ⁿ – 1 chia hết cho 255

6. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2ⁿ – 1 chia hết cho 7

7. Chứng minh rằng:

a. 20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1:323 với n chẵn

b. 11ⁿ + 2 + 122ⁿ + 1:133

c. + 7 :7 với n > 1

Tính chất cơ bản và rút gọn phân thức

Đề thi học kì 1 Toán 8 – Đề 1

A. TRẮC NGHIỆM: (2,5 điểm) Học sinh chn câu trả lời đúng cho mỗi câu hỏi sau rồi ghi vào giấy làm bài

Câu 1 . Biểu thức còn thiếu của hằng đẳng thức:  là:

A. 4 xy

B. – 4xy

C. 2 xy

D. -2 x y

Câu 2. Kết quả của phép nhân: bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 3. Kết quả của rút gọn biểu thức :

A. x² + 4x – 2

B. x² – 4x + 4

C. x² + 4x + 4

D. x² – 4x – 4

Câu 4 . Phân thức nghịch đảo của phân thức  là phân thức nào sau đây :

A.

B.

C.

D.

Câu 5 . Phân thức đối của phân thức là :

A.

B.

C.

D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 6 . Hình nào sau đây có 4 trục đối xứng ?

A. Hình thang cân

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình vuông

Câu 7 . Cho hình thang ABCD có AB/ / CD, thì hai cạnh đáy của nó là :

A. AB ; CD

B. AC ;BD

C. AD; BC

D. Cả A, B, C đúng

Câu 8 . Cho hình bình hành ABCD có số đo góc , vậy số đo góc D bằng:

A. 70⁰

B. 75⁰

C. 80⁰

0.85⁰

Câu 9. Một miếng đất hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh lần lượt là 4m và 6m ; người ta làm bồn hoa hình vuông cạnh 2m, phần đất còn lại để trồng cỏ, hỏi diện tích trồng cỏ là bao nhiêu m²?

A. 24

B. 16

C. 20

D. 4

Câu 10. Số đo một góc trong của ngũ giác đều là bao nhiêu độ ?

A. 120⁰

B. 108⁰

C. 72⁰

D. 90⁰

B. TỰ LUẬN (7,5 điểm)

Bài 1 (1,25 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)

b)

Bài 2 (1,25 điểm) Cho 2 đa thức : và B=2 x+1

a) Tìm đa thức thương và dư trong phép chia A cho B

b) Tìm m để A chia hết cho B

Bài 3. (1,5 điểm) Thực hiện rút gọn các biểu thức:

a)

b)

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; và M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA, AE, EF, FD.

a) Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC

b) Chứng minh: Các tứ giác DAEF; MNPQ là hình bình hành

c) Khi tam giác ABC vuông tại A thì các tứ giác DAEF; MNPQ là hình gì ? Chứng minh?

d)Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNPQ là hình vuông?

Đề thi học kì 1 Toán 8 – Đề 2

A. TRẮC NGHIỆM (2,5 điểm) Học sinh chọn câu trả lời đúng cho mỗi câu hỏi sau rồi ghi vào giấy làm bài:

Câu 1. Vế phải của hằng đẳng thức: . . là:

A.

B.

C.

D.

Câu 2 Kết quả của phép chia bằng :

A.

B. 3 xy

C. -3 xy

D.

Câu 3: Rút gọn biểu thức  được kết quả nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Câu 4 . Phân thức đối của phân thức  là phân thức :

A.

B.

C.

D.

Câu 5 . Điều kiện xác định của phân thức là

A.

B.

C.

D.

Câu 6. Hình nào sau đây không có trục đối xứng ?

A. Hình thang cân

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình vuông

Câu 7. Cho hình thang ABCD có AB // CD, thì độ dài đường trung bình của hình thang được tính theo công thức nào sau đây ?

A.

B.

C.

D.

Câu 8 . Tứ giác ABCD có số đo góc A =75⁰ ; góc B =115⁰ ; góc C =100⁰. Vậy số đo góc D bằng

A. 70⁰

B. 75⁰

C. 80⁰

D. 85⁰

Câu 9. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình chữ nhật có chiều rộng 2 m và chiều dài 8 m, độ dài cạnh hình vuông là:

A. 2 m

B. 4 m

C. 6 m

D. 8 m

Câu 10. Hình đa giác lồi 6 cạnh có bao nhiêu đường chéo

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

B. TỰ LUẬN (7,5 điểm)

Bài 1: (1.5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

b)

Bài 2: (2,0 điểm)

Bài 3: (3,5 điểm ) Cho trung tuyến AD, gọi E là trung điểm của AB, là điểm đối xứng của điểm D qua E.

1. Chứng minh: Tứ giác ANBD là hình bình hành

2. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANBD là :

a) Hình chữ nhật

b) Hình thoi

c) Hình vuông

3. Gọi M là giao điểm của NC với AD, chứng minh

Bài 4 (0,5 điểm) Cho x, y , z là ba số khác 0 và . Tính giá trị của biểu thức :

Đề thi học kì 1 Toán 8 – Đề 3

A. TRẮC NGHIỆM. Học sinh khoanh tròn vào đáp án có câu trả lời đúng

Câu 1 . Vế còn lại của hằng đẳng thức :  là

Câu 2. Phân tích đa thức : thành nhân tử ta được kết quả là:

Câu 3. Kết quả của phép tính: bằng :

Câu 4. Điều kiện xác định của phân thức  là :

D. Cả B và C

Câu 5. Phân thức nghịch đảo của phân thức là :

Câu 6. Hình nào sau đây có 2 trục đối xứng:

A. Hình thang cân

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình vuông

Câu 7. Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để trở thành hình thoi

A. Hai đường chéo vuông góc

B. Hai cạnh liên tiếp bằng nhau

C. Có một góc vuông

D. Cả A và B đều đúng

Câu 8. Hình thang MNPQ có 2 đáy MQ = 12 cm, NP = 8 cm thì độ dài đường trung bình
của hình thang đó bằng:

A. 8 cm

B. 10 cm

C. 12 cm

D. 20 cm

Câu 9. Diện tích hình vuông tăng lên gấp 4 lần, hỏi độ dài mỗi cạnh hình vuông đã tăng
lên gấp mấy lần so với lúc ban đầu ?

A.2

B. 4

C. 8

D. 16

Câu 10. Một hình thoi có độ dài hai đường chéo lân lượt bằng 8 cm và 6 cm, hỏi độ dài
cạnh hình thoi bằng bao nhiêu cm

A. 5cm

B. 10 cm

C. 12 cm

D. 20 cm

B. TỰ LUẬN : (7,5 điểm)

Bài 1 : (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 2:(1,0 điểm) Đặt phép chia để tính

Bài 3:(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

Bài 4 : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.

1. Chứng minh : Tứ giác FDEC là hình bình hành

2. Chứng minh : AF = DE

3. Gọi K là hình chiếu của điểm A trên cạnh BC, chứng minh tứ giác KDEF là hình thang cân.

Đề thi học kì 1 Toán 8 – Đề 4

A. TRẮC NGHIỆM (2 Điểm) Chọn câu trả lời đúng cho mỗi câu sau:

Câu 1. Trong hằng đẳng thức Số hạng còn thiếu chỗ ………là:

A. xy

B. 2xy

C. -xy

D. -2xy

Câu 2. Phân thức  bằng:

D. Cả A, B, C đúng

Câu 3. Rút gọn phân thức , ta được:

A. x+2

B. x-2

C. x

D. -2

Câu 4. Điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức  xác định là:

A. Mọi x

B.

C.

D.

Câu 5. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình thoi

Câu 6. Hình chữ nhật có mấy trục đối xứng?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7. Hình nào sau đây là đa giác đều

A. Hình chữ nhật

B. Hình thoi

C. Hình vuông

D. Cả A, B, C đúng

Câu 8. Tăng độ dài cạnh hình vuông lên ba lần thì diện tích của nó tăng mấy lần?

A. 3

B. 6

C. 9

D. Một số khác

B. TỰ LUẬN (8 điểm)

Câu 1. (1,5 điểm)

Phân tích các đa thức thành nhân tử:

Câu 2. (1,5 điểm)

Tính:

Câu 3. (1.5 điểm)

Cho biểu thức

a. Rút gọn M

b. Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên

Câu 4 .

Hình thang . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a. Chứng minh các tứ giác ABPD, MNPQ là hình bình hành

b. Tìm điều kiện của hình thang ABCD để MNPQ là hình thoi.

c. Gọi E là giao điểm của BD và AP. Chứng minh ba điểm Q, N, E thẳng hàng

Đề thi học kì 1 Toán 8 – Đề 5

I. TRẮC NGHIỆM (3 Điểm)

Hãy chọn ý trả lời đúng trong các câu sau đây. Ví dụ: Nếu chọn ý mathbfA của câu mathbf1 thì ghi là 1.A

Câu 1: Viết đa thức  dưới dạng bình phương của một tổng ta được kết quả nào sau đây:

Câu 2: Phân tích đa thức:  thành nhân tử ta được kết quả nào sau đây:

B. 5 x(x-2)

D. 5 x(2-x)

Câu 3: Hình chữ nhật ABCD có . Khi đó, diện tích hình chữ nhật ABCD là:

B. 40

C. 20

D. 3

Câu 4: Giá trị của biểu thức khi x=-2 là:

A. 0

B. -1

C. 4

D. Không xác định

Câu 5: Mẫu thức chung của hai phân thức: là:

Câu 6: Hiệu của biểu thức bằng:

D. 1 kết quả

Câu 7: Phân thức  sau khi rút gọn được:

Câu 8: Cho . Đa thức P là:

Câu 9: Tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm BC; biết thì MN bằng:

A. 1,5cm

B. 2,5 cm

C. 2cm

D. 5 cm

Câu 10: Trong tất cả các tứ giác đã học, hình có 2 trục đối xứng là:

A. Hình thang

B. Hình thang cân

C. Hình chữ nhật

D. Hình vuông

Câu 11: Một hình thang có đáy lớn bằng 10 cm đường trung bình của hình thang bằng 8 cm. Đáy nhỏ của hình thang có độ dài là:

A. 6 cm

B. 8 cm

C. 10 cm

D. 12 cm

Câu 12: Hai đường chéo hình thoi có độ dài 8 cm và 10 cm. Cạnh của hình thoi có độ dài là:

A. 6 cm

D. 9cm

II. TỰ LUẬN (7 Điểm)

Bài 1: (1,5đ) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a/ 2x-6 y

Bài 2: (2đ) Thực hiện phép tính:

Bài 3: (0,5 điểm) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức  bằng 0 .

Bài 4: (3đ) Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC, E là điểm
đối xứng của A qua I.

a) Chứng minh ABEC là hình thoi.

b) Chưng minh D, C, E thẳng hàng.

c) Tính số đo góc DAE.

d) Tìm điều kiện của tam giác ADE để tứ giác ABEC trở thành hình vuông

………….

Đề thi học kì 1 Toán 8 – Đề 6

A. TRẮC NGHIỆM (3đ):

(Học sinh làm bài trên giấy làm bài kiểm tra)

I. Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng (2,25đ). Ví dụ: Nếu chọn phương án A của câu 1 thì ghi là 1 – A.

Câu 1: Kết quả của phép nhân: x(x – 2)

Câu 2: Biểu thức được khai triển thành:

Câu 3: Kết quả của phép tính: bằng:

A. 1400

B. 2400

C. 256

D. 196

Câu 4: Phân tích đa thức ta có kết quả:

Câu 5: Rút gọn phân thức:

Câu 6: Mẫu thức chung của các phân thức:

Câu 7: Tổng các góc của một tứ giác bằng bao nhiêu?

A. 54⁰

B. 18⁰

C. 36⁰

D. 72⁰

Câu 8: Cho AM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A và AM = 3cm. Độ dài cạnh BC bằng:

A. 3cm

B. 6cm

C. 4cm

D. 5cm

Câu 9: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và số đo góc B bằng 10⁰ . Khi đó số đo góc A bằng:

A. 10⁰

B. 8⁰

C. 4⁰

D. 18⁰

…………………..

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết