Cấp (lý thuyết nhóm) là gì? Chi tiết về Cấp (lý thuyết nhóm) mới nhất 2023

Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ cấp (tiếng Anh: order) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau:

• cấp của một nhóm G chính là số phần tử của G;^[1]
• cấp của phần tử a trong nhóm G là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn

  a

  m

  =
  e

  {displaystyle a^{m}=e}

  , trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm G,

  a

  m

  {displaystyle a^{m}}

  là tích (với phép toán trang bị cho nhóm G) của m phần tử a.

Ký hiệu cấp của nhóm G là ord(G) hoặc |G|; cấp của phần tử a được ký hiệu là ord(a) hoặc |a|.

Cấp của nhóm và của phần tử có thể hữu hạn hoặc vô hạn ∞. Ví dụ tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng + lập thành một nhóm có cấp bằng ∞ (vì Z có vô số phần tử).

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng sau là bảng nhân cho các phần tử của nhóm đối xứng

S

3

{displaystyle S_{3}}

:

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Nhóm

S

3

{displaystyle S_{3}}

có 6 phần tử, nên cấp của nó bằng 6:

o
r
d
(

S

3

)
=
6

{displaystyle ord(S_{3})=6}

;

Cấp của các phần tử trong nhóm

S

3

{displaystyle S_{3}}

:

• phần tử đơn vị e có cấp bằng 1;
• các phần tử s, t, w bình phương lên bằng e:

  s

  2

  =

  t

  2

  =

  w

  2

  =
  e

  {displaystyle s^{2}=t^{2}=w^{2}=e}

  , nên chúng có cấp bằng 2;

• các phần tử u và v có cấp bằng 3; điều này có thể giải thích như sau:

  u

  2

  =
  v

  {displaystyle u^{2}=v}

  nên

  u

  3

  =
  u
  v
  =
  e

  {displaystyle u^{3}=uv=e}

  , tương tự cho v..

Cấp và cấu trúc của nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Cấp của nhóm và cấp của phần tử trong nhóm nói lên rất nhiều điều về cấu trúc của chính nhóm đó.

Nếu cấp của nhóm G bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.

Nếu cấp của phần tử a bằng 1:

a

1

=
e

{displaystyle a^{1}=e}

thì a chính là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu mọi phần tử a (khác phần tử đơn vị) của nhóm G đều bằng nghịch đảo của chính các phần tử đó (

a

2

=
e

{displaystyle a^{2}=e}

) thì chúng đều có cấp bằng 2:

o
r
d
(
a
)
=
2

{displaystyle ord(a)=2}

và nhóm G là nhóm Abel, vì:

a
b
=
(
b
b
)
a
b
(
a
a
)
=
b
(
b
a
)
(
b
a
)
a
=
b
(
b
a

)

2

a
=
b
e
a
=
b
a

{displaystyle ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=b(ba)^{2}a=bea=ba}

.

Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ nhóm cộng các số nguyên modulo

Z

6

{displaystyle Z_{6}}

là nhóm Abel, nhưng không phải mọi phần tử của nó đều có cấp bằng 2, ví dụ phần tử 2 có cấp bằng 3:

2
+
2
+
2
=
0

(
mod

6
)

{displaystyle 2+2+2=0{pmod {6}}}

.

Một phần tử

a

{displaystyle a}

có cấp bằng

2

{displaystyle 2}

cũng được gọi là một phần tử lũy đẳng.

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp được giải thích như sau:

nếu ta lấy nhóm xyclic sinh bởi phần tử g, ký hiệu là

⟨
g
⟩

{displaystyle langle grangle }

:

⟨
g
⟩
=
{

g

m

|

m
∈

Z

}

{displaystyle langle grangle ={g^{m}|min mathbb {Z} }}

,

thì cấp của nhóm

⟨
g
⟩

{displaystyle langle grangle }

chính bằng cấp của phần tử g:

ord
⁡
(
⟨
g
⟩
)
=
ord
⁡
(
g
)

{displaystyle operatorname {ord} (langle grangle )=operatorname {ord} (g)}

.

Định lý Lagrange[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Lagrange: Nếu H là nhóm con của G, và G có hữu hạn phần tử, thì H cũng hữu hạn và có cấp là ước số của cấp của G:

ord
⁡
(
G
)

ord
⁡
(
H
)

{displaystyle {frac {operatorname {ord} (G)}{operatorname {ord} (H)}}}

là số tự nhiên và bằng bản số của nhóm thương (G:H)^[2].

Từ định lý trên có thể suy ra, cấp của G chia hết cho cấp của mọi phần từ a thuộc G. Như đã xét trong ví dụ về nhóm

S

3

{displaystyle S_{3}}

, ord(

S

3

{displaystyle S_{3}}

)=6 chia hết cho 2 là cấp của s,t,w và 3 là cấp của u,v.

Các tính chất của cấp của phần tử[sửa | sửa mã nguồn]

Phần tử a và nghịch đảo của nó

a

−
1

{displaystyle a^{-1}}

có cùng cấp:

ord
⁡
(
a
)
=
ord
⁡
(

a

−
1

)

{displaystyle operatorname {ord} (a)=operatorname {ord} (a^{-1})}

.

Nếu số nguyên k thỏa mãn:

a

k

=
e

{displaystyle a^{k}=e}

thì cấp của a là ước của k. Nhận xét này được áp dụng rất nhiều trong số học sơ cấp.

Nếu a có cấp hữu hạn thì mọi lũy thừa nguyên của a cũng có cấp hữu hạn. Cấp của phần tử

a

k

{displaystyle a^{k}}

được tính như sau:

ord
⁡
(

a

k

)
=

ord
⁡
(
a
)

U
C
L
N
(
ord
⁡
(
a
)
,
k
)

{displaystyle operatorname {ord} (a^{k})={frac {operatorname {ord} (a)}{UCLN(operatorname {ord} (a),k)}}}

(ký hiệu UCLN(a,b) là ước số chung lớn nhất của a và b).

Ví dụ:

• Trong nhóm cộng các số nguyên modulo 5

  Z

  5

  {displaystyle Z_{5}}

  , a=2 có cấp bằng 5 (vì

  (
  2
  +
  2
  +
  2
  +
  2
  +
  2
  )
  ≡
  0

  (
  mod

  5
  )

  {displaystyle (2+2+2+2+2)equiv 0{pmod {5}}}

  ), nếu lấy k=2 thì

  a

  k

  =

  2

  2

  =
  4

  {displaystyle a^{k}=2^{2}=4}

  sẽ có cấp bằng 2:

ord
⁡
(

2

2

)
=

ord
⁡
(
2
)

U
C
L
N
(
ord
⁡
(
2
)
,
2
)

=

4
2

=
2

{displaystyle operatorname {ord} (2^{2})={frac {operatorname {ord} (2)}{UCLN(operatorname {ord} (2),2)}}={frac {4}{2}}=2}

.

Định lý Cauchy (định lý Côsi)[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Cauchy: phát biểu rằng:

Cho nhóm G hữu hạn. Nếu cấp của G chia hết cho p, và p là số nguyên tố, thì tồn tại ít nhất một phần tử a thuộc G có cấp bằng p.

Đồng cấu nhóm và cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho 2 nhóm G và H, nếu f: G → H là một đồng cấu, a là một phần tử thuộc G, cấp của a là hữu hạn. Khi đó

ord
⁡
(
f
(
a
)
)

{displaystyle operatorname {ord} (f(a))}

là ước của

ord
⁡
(
a
)

{displaystyle operatorname {ord} (a)}

.

Ví dụ:

• Từ nhận xét trên, ta suy ra không tồn tại đồng cấu nhóm h: S₃ → Z₅, vì mọi phần tử khác 0 trong nhóm Z₅ đều có cấp bằng 5 và 5 không phải là ước của 1,2,3 là cấp của các phần tử trong S₃.

Bản số của nhóm con chuẩn tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]