Chuỗi hội tụ là gì? Các tiêu chuẩn cauchy về chuỗi số mới nhất 2021

Chuỗi hội tụ là gì?

Trong toán học, một chuỗi là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn.

Cho một dãy vô hạn

(

a

1

,

a

2

,

a

3

,

)
,

{displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},dots ),}

tổng thành phần thứ n của nó Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi. Tức là,

 

S

n

=

k
=
1

n

a

k

.

{displaystyle S_{n}=sum _{k=1}^{n}a_{k}.}

Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng thành phần của nó

(

S

1

,

S

2

,

S

3

,

)

{displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},dots )}

hội tụ đến một giới hạn; điều đó có nghĩa là các tổng thành phần dần dần tiến gần hơn và gần hơn đến một số xác định.

Chính xác hơn, một chuỗi là hội tụ, nếu tồn tại một số xác định

{displaystyle ell }

sao cho với mỗi số dương nhỏ tùy ý

ε

{displaystyle varepsilon }

, tồn tại một số nguyên (đủ lớn)

N

{displaystyle N}

, sao cho với mọi

n

N

{displaystyle ngeq N}

,

 

|

S

n


|

<
ε
.

{displaystyle left|S_{n}-ell rightvert <varepsilon .}

Nếu chuỗi hội tụ, số

{displaystyle ell }

(nhất thiết phải là duy nhất) được gọi là tổng của chuỗi.

Bất kỳ chuỗi nào không hội tụ được gọi là phân kỳ.

Ví dụ về chuỗi hội tụ và phân kỳ

  • Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi phân kỳ (cũng được gọi là chuỗi điều hòa):
     

    1
    1

    +

    1
    2

    +

    1
    3

    +

    1
    4

    +

    1
    5

    +

    1
    6

    +



    .

    {displaystyle {1 over 1}+{1 over 2}+{1 over 3}+{1 over 4}+{1 over 5}+{1 over 6}+cdots rightarrow infty .}

  • Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi hội tụ (chuỗi điều hòa đan dấu):
     

    1
    1

    1
    2

    +

    1
    3

    1
    4

    +

    1
    5



    =
    ln

    (
    2
    )

    {displaystyle {1 over 1}-{1 over 2}+{1 over 3}-{1 over 4}+{1 over 5}-cdots =ln(2)}

  • Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên tố là một chuỗi phân kỳ:
     

    1
    2

    +

    1
    3

    +

    1
    5

    +

    1
    7

    +

    1
    11

    +

    1
    13

    +



    .

    {displaystyle {1 over 2}+{1 over 3}+{1 over 5}+{1 over 7}+{1 over 11}+{1 over 13}+cdots rightarrow infty .}

  • Chuỗi nghịch đảo của các số tam giác là một chuỗi hội tụ:
     

    1
    1

    +

    1
    3

    +

    1
    6

    +

    1
    10

    +

    1
    15

    +

    1
    21

    +

    =
    2.

    {displaystyle {1 over 1}+{1 over 3}+{1 over 6}+{1 over 10}+{1 over 15}+{1 over 21}+cdots =2.}

  • Chuỗi nghịch đảo của các giai thừa là một chuỗi hội tụ (xem e):
     

    1
    1

    +

    1
    1

    +

    1
    2

    +

    1
    6

    +

    1
    24

    +

    1
    120

    +

    =
    e
    .

    {displaystyle {frac {1}{1}}+{frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{24}}+{frac {1}{120}}+cdots =e.}

  • Chuỗi nghịch đảo của các số chính phương là một chuỗi hội tụ (bài toán Basel):
     

    1
    1

    +

    1
    4

    +

    1
    9

    +

    1
    16

    +

    1
    25

    +

    1
    36

    +

    =

    π

    2

    6

    .

    {displaystyle {1 over 1}+{1 over 4}+{1 over 9}+{1 over 16}+{1 over 25}+{1 over 36}+cdots ={pi ^{2} over 6}.}

  • Chuỗi nghịch đảo của các lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ:
     

    1
    1

    +

    1
    2

    +

    1
    4

    +

    1
    8

    +

    1
    16

    +

    1
    32

    +

    =
    2.

    {displaystyle {1 over 1}+{1 over 2}+{1 over 4}+{1 over 8}+{1 over 16}+{1 over 32}+cdots =2.}

  • Chuỗi nghịch đảo các lũy thừa cơ số n là một chuỗi hội tụ:
     

    1
    1

    +

    1
    n

    +

    1

    n

    2

    +

    1

    n

    3

    +

    1

    n

    4

    +

    1

    n

    5

    +

    =

    n

    n

    1

    .

    {displaystyle {1 over 1}+{1 over n}+{1 over n^{2}}+{1 over n^{3}}+{1 over n^{4}}+{1 over n^{5}}+cdots ={n over n-1}.}

  • Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ:
     

    1
    1

    1
    2

    +

    1
    4

    1
    8

    +

    1
    16

    1
    32

    +

    =

    2
    3

    .

    {displaystyle {1 over 1}-{1 over 2}+{1 over 4}-{1 over 8}+{1 over 16}-{1 over 32}+cdots ={2 over 3}.}

  • Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số n là một chuội hội tụ:
     

    1
    1

    1
    n

    +

    1

    n

    2

    1

    n

    3

    +

    1

    n

    4

    1

    n

    5

    +

    =

    n

    n
    +
    1

    .

    {displaystyle {1 over 1}-{1 over n}+{1 over n^{2}}-{1 over n^{3}}+{1 over n^{4}}-{1 over n^{5}}+cdots ={n over n+1}.}

  • Chuỗi nghịch đảo của các số Fibonacci là một chuỗi hội tụ (xem ψ):
     

    1
    1

    +

    1
    1

    +

    1
    2

    +

    1
    3

    +

    1
    5

    +

    1
    8

    +

    =
    ψ
    .

    {displaystyle {frac {1}{1}}+{frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}+{frac {1}{8}}+cdots =psi .}

Các tiêu chuẩn hội tụ

Có một số phương pháp xác định xem một chuỗi hội tụ hay phân kỳ, được gọi là các tiêu chuẩn hội tụ.

250px Comparison test series.svg

Nếu chuỗi màu xanh,

Σ

b

n

{displaystyle Sigma b_{n}}

là hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn

Σ

a

n

{displaystyle Sigma a_{n}}

cũng là hội tụ. Nếu chuỗi màu đỏ

Σ

a

n

{displaystyle Sigma a_{n}}

là phân kỳ, thì chuỗi lớn hơn

Σ

b

n

{displaystyle Sigma b_{n}}

cũng là phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh. Nếu,

với mọi n,


a

n

b

n

{displaystyle 0leq a_{n}leq b_{n}}

n
=
1

b

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}}

hội tụ, thế thì

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

hội tụ.

Nếu,

với mọi n,


b

n

a

n

{displaystyle 0leq b_{n}leq a_{n}}

n
=
1

b

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}}

phân kỳ, thế thì

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

phân kỳ.

Tiêu chuẩn D’Alembert (hay tiêu chuẩn tỷ lệ). Giả sử rằng với mọi n,

a

n

{displaystyle a_{n}}

khác 0. Giả sử tồn tại

r

{displaystyle r}

sao cho

 

lim

n

|

a

n
+
1

a

n

|

=
r
.

{displaystyle lim _{nto infty }left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|=r.}

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn D’Alembert không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn Cauchy (hay tiêu chuẩn căn thức). Giả sử rằng các số hạng của chuỗi là không âm. Xác định r như sau:

 

r
=

lim sup

n

|

a

n

|

n

,

{displaystyle r=limsup _{nrightarrow infty }{sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn tích phân Cauchy.Giả sử

f
(
n
)
=

a

n

{displaystyle f(n)=a_{n}}

với

f

{displaystyle f}

là một hàm số dương đơn điệu giảm. Nếu

 

1

f
(
x
)

d
x
=

lim

t

1

t

f
(
x
)

d
x
<

,

{displaystyle int _{1}^{infty }f(x),dx=lim _{tto infty }int _{1}^{t}f(x),dx<infty ,}

thì chuỗi hội tụ. Nếu tích phân phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Nếu

{

a

n

}

,

{

b

n

}

>

{displaystyle left{a_{n}right},left{b_{n}right}>0}

và giới hạn

lim

n

a

n

b

n

{displaystyle lim _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}}

tồn tại và khác không, thì

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

hội tụ khi và chỉ khi

n
=
1

b

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}}

hội tụ.

Tiêu chuẩn Leibniz. Với một chuỗi đan dấu

n
=
1

a

n

(

1

)

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}(-1)^{n}}

, nếu

{

a

n

}

{displaystyle left{a_{n}right}}

giảm đơn điệu và có giới hạn bằng 0 ở vô cực thì chuỗi hội tụ.

Dấu hiệu Abel

Dấu hiệu Dirichlet

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện

220px LogConvergenceAnim

Minh họa sự hội tụ có điều kiện của chuỗi lũy thừa của log(z+1) gần điểm 0 được tính tại z = exp((π−13)i). Độ dài của đoạn đường nối là vô hạn.

Với một dãy bất kỳ

{

a

1

,

a

2

,

a

3

,

}

{displaystyle left{a_{1}, a_{2}, a_{3},dots right}}

,

a

n

|

a

n

|

{displaystyle a_{n}leq left|a_{n}rightvert }

với mọi n. Vì thế,

 

n
=
1

a

n

n
=
1

|

a

n

|

.

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}leq sum _{n=1}^{infty }left|a_{n}rightvert .}

Điều này có nghĩa là (theo dấu hiệu so sánh) nếu

n
=
1

|

a

n

|

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }left|a_{n}rightvert }

hội tụ, thì

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

cũng phải hội tụ (nhưng đảo lại không đúng).

Nếu chuỗi

n
=
1

|

a

n

|

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }left|a_{n}rightvert }

hội tụ, thì

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

được gọi là hội tụ tuyệt đối. Một dãy hội tụ tuyệt đối là dãy mà độ dài đoạn thẳng tạo ra khi nối lại tất cả các phần tăng thêm của tổng riêng có độ dài hữu hạn. Chuỗi lũy thừa của hàm mũ hội tụ tuyệt đối ở mọi nơi.

Nếu chuỗi

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

hội tụ nhưng chuỗi

n
=
1

|

a

n

|

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }left|a_{n}rightvert }

lại phân kỳ, thì chuỗi

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

là hội tụ có điều kiện. Đoạn đường tạo ra khi nối các tổng riêng của một chuỗi hội tụ có điều kiện có độ dài vô hạn. Thí dụ, chuỗi lũy thừa của hàm logarit là hội tụ có điều kiện.

Định lỹ chuỗi Riemann khẳng định rằng nếu một chuỗi hội tụ có điều kiện, có thể đổi chỗ các số hạng trong chuỗi theo một cách sao cho chuỗi hội tụ đến giá trị tùy ý, hay thậm chí là phân kỳ.

Hội tụ đều

Cho

{

f

1

,

f

2

,

f

3

,

}

{displaystyle left{f_{1}, f_{2}, f_{3},dots right}}

là một dãy các hàm số. Chuỗi

n
=
1

f

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }f_{n}}

được gọi là hội tụ đều đến f nếu dãy các tổng riêng

{

s

n

}

{displaystyle {s_{n}}}

xác định bởi

 

s

n

(
x
)
=

k
=
1

n

f

k

(
x
)

{displaystyle s_{n}(x)=sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}

hội tụ đều đến f.

Có một tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi hàm vô hạn giống với tiêu chuẩn so sánh trên, được gọi là Dấu hiệu M Weierstrass.

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy khẳng định rằng một chuỗi

 

n
=
1

a

n

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng là một dãy Cauchy. Điều này nghĩa là với mỗi

ε
>

,

{displaystyle varepsilon >0,}

tồn tại một số nguyên dương

N

{displaystyle N}

sao cho với mọi

n

m

N

{displaystyle ngeq mgeq N}

ta có

 

|

k
=
m

n

a

k

|

<
ε
,

{displaystyle left|sum _{k=m}^{n}a_{k}right|<varepsilon ,}

điều này tương đương với

 

lim

n

m

k
=
n

n
+
m

a

k

=
0.

{displaystyle lim _{nto infty atop mto infty }sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0.}

Xem thêm

  • Hội tụ chuẩn
  • Danh sách chuỗi toán học

Tham khảo

Liên kết ngoài

  • Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Series”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

  • Weisstein, Eric (2005). Định lý Riemann Series. Truy cập ngày 16 tháng 5 năm 2005.
  • Tài liệu trực tuyến, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung.


Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Chuỗi_hội_tụ&oldid=64523418”

Từ khóa: Chuỗi hội tụ

chuỗi hội tụ
chuỗi hội tụ khi nào
chuỗi số hội tụ
chuỗi hội tụ khi và chỉ khi
chuỗi hội tụ là gì
chuỗi hội tụ tuyệt đối
các tiêu chuẩn hội tụ
dãy số hội tụ là gì
chuỗi phân kỳ
chuỗi số hội tụ khi nào
hội tụ đều là gì
chuỗi 1/n hội tụ
hội tụ tuyệt đối
hội tụ tuyệt đối là gì
dãy hội tụ
tiêu chuẩn cauchy về chuỗi số
hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
dãy hội tụ là gì
điều kiện hội tụ
chuỗi phân kì
sự hội tụ của chuỗi số
tiêu chuẩn hội tụ
hội tụ là gì
các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

LADIGI – Công ty dịch vụ SEO uy tín giá rẻ, SEO từ khóa, SEO tổng thể cam kết lên Top Google uy tín chuyên nghiệp, an toàn, hiệu quả.

Scores: 4.2 (168 votes)

Có thể bạn quan tâm  111 là gì? Chi tiết về 111 mới nhất 2021

100 lần tự tìm hiểu cũng không bằng 1 lần được tư vấn




    Mã giảm giá
    SHOPEE 100K