Chuyên Đề Các Trường Hợp Bằng Nhau Của Tam Giác Có Đáp Án

1. Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh:

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Xét ∆ABC và ∆DFE có:

AB = DF (gt)

AC = DE (gt)

BC = EF (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c – c – c)

 (các cặp góc tương ứng)

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Xét ∆ABC và ∆DFE có:

AB = DF (gt)

 (gt)

AC = DE (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c – g – c)

 (góc tương ứng) và BC = EF (cạnh tương ứng)

Lưu ý: Cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Xét ∆ABC và ∆DFE có:

 (gt)

AB = DF (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (g – c – g)

 (góc tương ứng) và AC = DE, BC = EF (cạnh tương ứng)

Lưu ý:

– Cặp cạnh bằng nhau phải là cạnh tạo nên hai cặp góc bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

– Khi hai tam giác đã chứng minh bằng nhau, ta có thể suy ra những yếu tố tương ứng còn lại bằng nhau.

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

* Trường hợp cạnh góc vuông – cạnh góc vuông (cgv – cgv): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

* Trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn (cgv – gn): Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề ấy cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

* Trường hợp cạnh huyền – góc nhọn (ch – gn): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

3. Ứng dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác

Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để:

– Chứng minh: hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; …

– Tính: các độ dài đoạn thẳng; tính số đo góc; tính chu vi; diện tích; …

– So sánh: các độ dài đoạn thẳng; so sánh các góc; …

4. Bài tập vận dụng Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh

Bài 1: Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán bính BA, chúng cách nhau giữa ở D (D và B nằm khác phía đối với bờ AC). Chứng minh rằng AD // BC

Bài 2: Tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Chứng mình rằng AM vuông góc với BC.

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh

Bài 1: Cho đoạn thẳng BC. Gọi A là một điểm nằm trên đường trung trực xy của đoạn thẳng BC và M là giao điểm của xy với BC. Chứng minh AB = AC

Bài 2: Cho đường thẳng AB, trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đoạn thẳng AB vẽ hai tia Ax ⊥ AB; By ⊥ BA. Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho AC = BD. Gọi O là trung điểm của AB.

a) Chứng mình rằng: ΔAOC = ΔBOD

b) Chứng minh O là trung điểm của CD

a) Xét ∆AOC và ∆BOD có:

OA = OB (gt)

(gt)

AC = BD (gt)

Suy ra ∆AOC = ∆BOD (c – g – c)

b) Vì ∆AOC = ∆BOD (cmt)

Mà tia OC và OD là hai tia nằm khác phía đối với AB nên suy ra O, C, D thẳng hàng (hai tia đối của hai góc đối đỉnh hay O nằm giữa CD)

Ta có: O nằm giữa C và D nên OC = OD hay O là trung điểm của CD

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:

Bài 1: Cho ΔABC có . Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Tia phân giác của góc C cắt AB tại E. So sánh độ dài đoạn thằng BD và CE.

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB = AC) và I là trung điểm của đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm nằm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ba điểm D, I, E thẳng hàng.

6. Bài tập tự luyện

Sau khi nắm rõ các lý thuyết bên trên về những trường hợp bằng nhau của tam giác, mời các bạn cùng làm các bài tập ứng dụng dưới đây:

Bài 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC.

Chứng minh: ∆NMB = ∆ NMC.

Bài 2. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: ABE = ACE

Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A = 40⁰, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.

Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC) có AM là phân giác của góc A (M thuộc BC). Trên AC lấy D sao cho AD = AB.

a. Chứng minh BM = MD

b. Gọi K là giao điểm của AB và DM. Chứng minh ∆DAK = ∆BAC

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông ở C, có góc A bằng 60⁰, tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB (K thuộc AB), kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc AE). Chứng minh:

a. AK = KB

b. AD = BC

Bài 6. Cho tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với AB. Hai đường thẳng cắt nhau tại D.

a. Chứng minh ∆ABC =∆ADC

b. Chứng minh ∆ADB = ∆CBD

c. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ∆ABO = ∆COD

Bài 7. Cho góc xAy khác góc bẹt. Gọi AD là tia tia phân giác của góc xAy. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với Ay cắt Ay tại C và cắt Ax tại E. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với Ax cắt Ax tại B và cắt Ay tại H. Chứng minh:

a. ∆ABD = ∆ACD

b. ∆DBE = ∆DCH

c. ∆ABH = ∆ACE

Bài 8. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và D. Trên tia Oy lấy hai điểm C và E sao cho OD = OE và OA = OB.

a. Chứng minh ∆ODC = ∆OBE

b. Gọi A là giao điểm của BE và CD. Chứng minh ∆AOB = ∆AOC

c. Chứng minh BC vuông góc với OA

Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.

a. Chứng minh góc EAB = góc DAC.

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE.

c. Giả sử góc DAE = 60⁰. Tính các góc còn lại của tam giác DAE.

Bài 10. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng:

a. ∆ABE = ∆ACE

b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Bài 11. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:

a. ∆BDF = ∆EDC.

b. BF = EC.

c. F, D, E thẳng hàng.

d. AD ⊥ FC

Bài 12. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).

a. Chứng minh ∆OAD = ∆OBC

b. So sánh 2 góc CAD và CBD.

Bài 13. Cho ΔABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a. Chứng minh ΔABC = ΔABD

b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh ΔMBD = ΔMBC.

Bài 14. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:

a. ΔAOI = ΔBOI.

b. AB ⊥ OI.

Bài 15. Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.

a. Chứng minh AC // BE.

b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.

Bài 16: Chứng minh hai tam giác bằng nhau thì hai đường cao tương ứng bằng nhau.

Bài 17: Cho góc vuông xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và D, trên tia Ay lấy 2 điểm C và E sao cho AB = AC và AD = AE

a. Chứng minh tam giác ACD và tam giác ABE bằng nhau.

b. Chứng minh tam giác BOD và tam giác COE bằng nhau. Với O là giao điểm của DC và BE.

c. Chứng minh AO vuông góc với DE.

Bài 18: Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy 2 điểm A và D trên tia OY lấy 2 điểm C và E sao cho OD = OE và OA = OB

a. Chứng minh tam giác ODC và tam giác OBE bằng nhau.

b. Gọi A là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác AOB và tam giác AOC bằng nhau.

c. Chứng minh BC vuông góc với OA.

Bài 19: Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M.

a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC.

b) Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.

c) K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh góc BAC bằng hai lần góc BIH.