Định lý Ptoleme là gì? Cách chứng minh định lý Ptoleme chi tiết nhất 2023

Định lý Ptôlêmê về mối liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tứ giác nội tiếp.

Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:

|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện

Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện

Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh

Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptoleme

Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì

{displaystyle {overline {AB}}cdot {overline {CD}}+{overline {BC}}cdot {overline {DA}}geq {overline {AC}}cdot {overline {BD}}}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemye.

Chứng minh

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm $E$ sao cho $\triangle BCD$ đồng dạng với $\triangle BEA$ . Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

{\frac {BA}{EA}}={\frac {BD}{CD}}

Suy ra

BA.CD=EA.BD(1)

Mặt khác, $\triangle EBC$ và $\triangle ABD$ cũng đồng dạng do có

{\frac {BA}{BD}}={\frac {BE}{BC}}

và

{\widehat {EBC}}={\widehat {ABD}}

Từ đó

{\frac {EC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}

Suy ra

AD.BC=EC.BD(2)

Cộng (1) và (2) ta suy ra

AB\cdot CD+AD\cdot BC=BD\cdot (EA+EC)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra

${AB}\cdot {CD}+{BC}\cdot {DA}\geq {AC}\cdot {BD}$

Mở rộng và suy biến

Định lý Casey, định lý Fuhrmann và định lý Tweedie là các mở rộng của định lý Ptoleme.
Định lý Pompeiu là trường hợp đặc biệt của định lý Ptoleme.

Xem thêm

Định lý Casey
Định lý Tweedie
Định lý Fuhrmann

Tham khảo

I.F.Sharyghin, Các bài toán hình học phẳng, Nhà xuất bản “Nauka”, Moscow 1986 (tiếng Nga)
Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L.: “Ptolemy’s Theorem and its Extensions.” §2.6 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 42–43, 1967.
De Revolutionibus Orbium Coelestium, Copernicus, Nicolaus. English translation from On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. ISBN 0-14-101571-3

Liên kết ngoài

Proof of Ptolemy’s Theorem for Cyclic Quadrilateral
MathPages − On Ptolemy’s Theorem
.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:”“”””””‘””’”}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg”)right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg”)right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg”)right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg”)right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Elert, Glenn (1994). “Ptolemy’s Table of Chords”. E-World.
Ptolemy’s Theorem at cut-the-knot
Compound angle proof at cut-the-knot
Ptolemy’s Theorem on PlanetMath
Ptolemy Inequality on MathWorld
De Revolutionibus Orbium Coelestium at Harvard.
Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit Lưu trữ 2008-07-05 tại Wayback Machine
Ptolemy’s Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
Book XIII of Euclid’s Elements
[1] Lưu trữ 2014-10-06 tại Wayback Machine by I.S Amarasinghe, Vol 02(01), 2013

Wikipedia

Định lý Ptoleme là gì? Cách chứng minh định lý Ptoleme chi tiết nhất 2023