Định thức con là gì? Định thức con cấp 3, n, n-1, cấp k là gì? Ma trận con là gì? Chi tiết 2023

Trong đại số tuyến tính, một định thức con của một ma trận A là định thức của một ma trận vuông nhỏ hơn tạo thành từ các phần tử nằm trên giao của một số hàng và cột của A.

Định thức con cấp n-1 là gì?

Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì định thức con cấp n-1 ứng với hàng i và cột j là định thức của ma trận con được hình thành bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A.^[1] Giá trị của nó thường được ký hiệu là M_i,j. (Lưu ý rằng số hạng tại vị trí (i, j) cũng là một định thức con cấp 1 của A).

Giá trị {\displaystyle (-1)^{i+j}}M_i,j bằng với phần bù đại số của số hạng (i, j) trong ma trận A^[1].

Để minh họa các định nghĩa này, hãy xem xét ma trận 3×3 sau đây,

Ta có

Vì vậy, phần bù đại số của số hạng tại vị trí (2,3) là

Các định thức con cấp n-1 của một ma trận vuông cấp n cũng được gọi là các định thức con đầu. Có tất cả {\displaystyle n^{2}} định thức con đầu, và {\displaystyle n^{2}} phần bù đại số đầu tương ứng.

Định thức con cấp k là gì?

Đặt A là một ma trận m × n và k là một số nguyên lớn hơn 0. Một định thức con cấp k của A là định thức của ma trận con tạo bởi các phần tử nằm trên giao của các hàng  và các cột  nào đó của A.^[1]

Một cách tương đương, nó cũng là định thức của ma trận con tạo ra từ A bằng cách xóa các hàng không nằm trong  và các cột không nằm trong .

Nếu A là một ma trận vuông, nếu giữ các hàng và cột cho ta một định thức con thì xóa các hàng và cột đó cho ta định thức con bù. Phần bù đại số của một định thức con tạo bởi các hàng  và các cột được cho bởi tích của định thức con bù với hệ số .^[1]

Tính chất của định thức

• Nếu matrix có hai hàng (cột) bằng nhau thì det bằng 0.
• Nếu một hàng (cột) của matrix cùng chia hết cho một số λλ thì có thể tách nhân tử λλ ra ngoài matrix, tính det của matrix mới, rồi nhân với λλ để có được det của matrix ban đầu.
• Tráo đổi hai hàng (cột) của matrix làm đổi dấu det.

• ‖AT‖=‖A‖‖AT‖=‖A‖
• ‖AB‖=‖A‖B‖‖AB‖=‖A‖B‖

Ma trận liên hợp (adjoint matrix) là ma trận chuyển vị của ma trận các cofactor của một ma trận vuông.

• A(adj A)=‖A‖IA(adj A)=‖A‖I
• ‖adj A‖=‖A‖n−1‖adj A‖=‖A‖n−1, với nn là bậc của ma trận
• adj AB=(adj B)(adj A)adj AB=(adj B)(adj A)

Ma trận nghịch đảo:

• A−1A=AA−1=IA−1A=AA−1=I
• Nếu det của A khác 0: A−1=(adj A)T/‖A‖A−1=(adj A)T/‖A‖, ngược lại thì nghịch đảo của A không tồn tại
• (AB)−1=B−1A−1

Ma trận là gì?

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật^[1]—các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột^[2][3]—mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.

Khi các ma trận có cùng kích thước (chúng có cùng số hàng và cùng số cột), thì có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các biến đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x. Ví dụ, phép quay các vectơ trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Quan niệm hình học của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong mỗi nhánh của vật lý học, bao gồm cơ học cổ điển, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của vật rắn. Trong đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, các ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán PageRank để xếp hạng các trang trong lệnh tìm kiếm của Google.^[4] Phép tính ma trận tổng quát hóa các khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ đối với số chiều lớn hơn.

Một nhánh chính của giải tích số dành để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu rộng ngày nay. Phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như ma trận thưa (sparse) và ma trận gần chéo, giúp giải quyết những tính toán trong phương pháp phần tử hữu hạn và những tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học thiên thể và lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

Phần bù là gì?

Trong lý thuyết tập hợp và các ngành khác của toán học, có hai loại phần bù được định nghĩa, phần bù tương đối và phần bù tuyệt đối.

Từ khóa tìm kiếm: định thức con

LADIGI – Công ty dịch vụ SEO từ khóa giá rẻ, SEO từ khóa, SEO tổng thể cam kết lên Top Google uy tín chuyên nghiệp, an toàn, hiệu quả.