Đường phân giác là gì? cách vẽ đường phân giác của tam giác mới nhất 2023

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ.

Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Bất kỳ góc nào cũng chỉ có duy nhất một đường phân giác. Mọi điểm trên một đường phân giác cách đều hai cạnh của góc đó và ngược lại.

Khái niệm về đường phân giác

Đường phân giác trong của một góc là đường thẳng chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Đường phân giác ngoài của một góc là đường thẳng chia góc kề bù của góc đó thành hai góc bằng nhau.

Tính chất của đường phân giác

Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của 1 góc luôn vuông góc với nhau.

Tập hợp các điểm nằm trong một góc và cách đều 2 cạnh của góc thì nằm trên đường phân giác trong của góc đó và ngược lại

Cách vẽ đường phân giác

Sử dụng thước thẳng và compa

Để vẽ đường phân giác của một góc dùng thước thẳng và com-pa, đầu tiên ta vẽ một đường tròn có tâm là đỉnh của góc. Đường tròn cắt hai đường thẳng tạo thành góc tại hai điểm. Tiếp tục dùng com-pa, lấy mỗi điểm này làm tâm, vẽ hai đường tròn có cùng bán kính. Các điểm giao cắt nhau của hai đường tròn (hai điểm) sẽ tạo thành đường phân giác của góc.

Sử dụng thước thẳng có 2 cạnh song song

Để vẽ đường phân giác mà chỉ dùng thước thẳng có 2 cạnh song song, ta áp 1 cạnh của thước vào 1 cạnh của góc rồi vẽ một đường thẳng theo cạnh kia của thước. Làm tương tự với cạnh kia của góc. 2 đường thẳng đã vẽ giao nhau tại 1 điểm. Đường thẳng nối liền giao điểm với đỉnh của góc chính là đường phân giác của góc đó.

Các đường phân ba một góc

1. Có 2 đường thẳng phân ba một góc, nghĩa là chia góc thành 3 phần bằng nhau.
Năm 1837, Pierre Wantzel đã chứng minh được rằng không thể dựng được các đường phân ba của một góc chỉ bằng thước và compa
2. Còn có cách khác để dựng đường phân giác. Từ cách 1 đường tròn cắt 2 cạnh của góc ta dưng được 1 tam giác cân. xác định trung điểm của cạnh đó. nối trung điểm này với đỉnh ta cũng có thể tạo được 1 đường phân giác.

Cách viết phương trình đường phân giác của một góc

Để viết phương trình đường phân giác của góc thì chúng ta cần hiểu được khái niệm đường phân giác cũng như các tính chất của đường phân giác. Sau khi nắm rõ về đường phân giác rồi thì cần sử dụng linh hoạt các tính chất đó vào các bài toán cụ thể. Bên cạnh đó, ta cũng cần sử dụng đến công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong mặt phẳng. Có một số cách viết phương trình đường phân giác của góc nhưng trong bài viết này sẽ gợi ý cho bạn một cách điển hình.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Đầu tiên ta cần biết công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trên hệ trục toạ độ 𝑂𝑥𝑦 .

Cho đường thẳng 𝑑 có phương trình 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 và một điểm 𝑀(𝑥0;𝑦0) . Khi đó khoảng cách từ điểm 𝑀 đến đường thẳng 𝑑 là:

𝑑(𝑀,𝑑)=∣∣𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶∣∣𝐴2+𝐵2√

Cách viết phương trình đường phân giác của góc trong tam giác

Giả sử cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 và yêu cầu viết phương trình đường phân giác 𝐴𝐷 của góc 𝐴ˆ

• Bước 1: Gọi 𝐻(𝑥;𝑦) là điểm bất kì thuộc đường phân giác 𝐴𝐷
• Bước 2: Tính khoảng cách 𝑑1 và 𝑑2 từ 𝐻 tới đường thẳng 𝐴𝐵;𝐴𝐶
• Bước 3: Giải phương trình 𝑑1=𝑑2 . Tới đây các bạn có được hai đường phân giác trong và phân giác ngoài. Nếu bài toán hỏi đường phân giác nào thì biện luận lấy đường phân giác đó

Để tính được khoảng cách từ 𝐻  tới hai cạnh của góc thì các bạn cần phải viết được phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 . Điều này thì bài toán có thể cho trước phương trình hai cạnh hoặc có thể cho tọa độ 3 điểm 𝐴;𝐵;𝐶 . Cũng có những bài toán thì chúng ta cần đi tìm những yếu tố này trước rồi mới tính được.

Áp dụng viết phương trình đường phân giác cho trường hợp cụ thể

Bài tập áp dụng: Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(−6,−3);𝐵(−4,3);𝐶(9,2) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc 𝐴ˆ của tam giác Δ𝐴𝐵𝐶.

Hướng dẫn giải:

Theo như các bước giải trình bày ở trên thì bài toán này chúng ta đã biết tọa độ 3 điểm. Để viết được phương trình đường phân giác trong góc 𝐴ˆ chúng ta phải đi viết phương trình đường thẳng 𝐴𝐵;𝐴𝐶 .

Gọi 𝑑 là đường phân giác trong góc 𝐴ˆ và 𝐻(𝑥;𝑦) là điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑑 .

Viết phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 :

Ta có: 𝐴𝐵→(2;6)⇒𝑢⃗ 𝐴𝐵(1;3) . Vậy 𝑛⃗ 𝐴𝐵(3;−1) là vecto pháp tuyến của đường thẳng 𝐴𝐵 .

Phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua 𝐴(−6;−3) có phương trình là:

3(𝑥+6)−1(𝑦+3)=0⇔3𝑥−𝑦+15=0

Viết phương trình đường thẳng 𝐴𝐶 :

Ta có: 𝐴𝐶→(15;5)⇒𝑢⃗ 𝐴𝐶(3;1) . Vậy 𝑛⃗ 𝐴𝐶(1;−3) là vecto pháp tuyến của đường thẳng 𝐴𝐶 .

Phương trình đường thẳng 𝐴𝐶 đi qua 𝐴(−6;−3) có phương trình là:

1(𝑥+6)−3(𝑦+3)=0⇔𝑥−3𝑦−3=0

Khoảng cách từ 𝐻 tới đường thẳng 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 

𝑑(𝐻,𝐴𝐵)=|3𝑥−𝑦+15|9+1√=|3𝑥−𝑦+15|10√

𝑑(𝐻,𝐴𝐶)=|𝑥−3𝑦−3|9+1√=|𝑥−3𝑦−3|10√

Vì 𝐻 là điểm thuộc đường phân giác góc 𝐴ˆ nên ta có:

𝑑(𝐻,𝐴𝐵)=𝑑(𝐻,𝐴𝐶)

⇔|3𝑥−𝑦+15|10√=|𝑥−3𝑦−3|10√

⇔|3𝑥−𝑦+15|=|𝑥−3𝑦−3|

⇔$[3𝑥−𝑦+15=𝑥−3𝑦−33𝑥−𝑦+15=−𝑥+3𝑦+3 $

⇔$[𝑥+𝑦+9=0𝑥−𝑦+3=0 $

Xác định đường phân giác trong, phân giác ngoài

Tới đây ta được hai phương trình đường phân giác của góc 𝐴ˆ . Tuy nhiên ta phải chọn ra một phương trình là đường phân giác trong, một phương trình là đường phân giác ngoài của góc 𝐴ˆ. Để chọn ra được các bạn làm như sau:

Lấy tọa độ điểm 𝐵  và điểm 𝐶 thay vào một trong hai phương trình, sau đó xét tích của chúng. Nếu tích dương thì đó là đường phân giác ngoài, nếu tích âm thì đó là đường phân giác trong.

Thay tọa độ của điểm 𝐵(−4;3)  và 𝐶(9;2) vào phương trình 𝑥+𝑦+9=0  và xét tích của chúng, ta có:  (−4+3+9).(9+2+9)=8.20=160>0

Do đó 𝑥+𝑦+9=0  là phương trình đường phân giác ngoài.

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc 𝐴ˆ là: 𝑥−𝑦+3=0

Trên đây chỉ là một phương pháp, phương pháp này hay được sử dụng. Ngoài phương pháp này còn có một số cách khác nữa.

Luyện tập viết phương trình đường phân giác trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(2;3);𝐵(1;1);𝐶(6;5) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc 𝐴ˆ của tam giác Δ𝐴𝐵𝐶.

Bài 2: Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(−6,−3);𝐵(−4,3);𝐶(9,2) . Tìm 𝐷  thuộc đường phân giác trong 𝑑 của góc 𝐴ˆ để 𝐴𝐵𝐷𝐶 là hình thang.

Lời giải bài 2: Như trên ví dụ ta có 𝑥−3𝑦+3=0 là phương trình đường phân giác trong của góc 𝐴ˆ

• Xét trường hợp hình thang 𝐴𝐵𝐷𝐶 có 𝐴𝐶∥𝐵𝐷

Vì có 𝐴𝐶∥𝐵𝐷 nên ta lấy véc-tơ pháp tuyến của 𝐴𝐶 : 𝑛⃗ 𝐴𝐶(−5;15) làm véc-tơ pháp tuyến của 𝐵𝐷

Có véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng 𝐵𝐷 và toạ độ điểm 𝐵(−4;3) ta viết được phương trình đoạn 𝐵𝐷 :

𝐵𝐷:𝑥−3𝑦+13=0

Mà 𝐷  thuộc đường phân giác trong của góc 𝐴ˆ và lại thuộc đường thẳng đi qua 𝐵  nên tọa độ của 𝐷 là nghiệm của hệ phương trình:

${𝑥−𝑦+3=0𝑥−3𝑦+13=0 $

⇔${𝑥=2𝑦=5 $

Suy ra toạ độ của 𝐷 là (2;5)

• Xét trường hợp hình thang 𝐴𝐷𝐵𝐶 có 𝐴𝐵∥𝐶𝐷

Làm tương tự ta có toạ độ 𝐷 là (14;17)

Vậy để 𝐴𝐶𝐵𝐷 là hình thang thì 𝐷 phải có toạ độ là (2;5) hoặc (14;17)

Tính chất đường phân giác của hai góc kề bù

Tính chất: Trong toán học hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

Ví dụ: 

Ta có 𝑂𝑧 và 𝑂𝑥 là hai tia đối nhau. Hai góc 𝑥𝑂𝑦ˆ và 𝑦𝑂𝑧ˆ là hai góc kề bù.

Gọi 𝑂𝑚 và 𝑂𝑛 lần lượt là hai tia phân giác của hai góc 𝑥𝑂𝑦ˆ và 𝑦𝑂𝑧ˆ.

Theo tính chất ta có 𝑂𝑚⊥𝑂𝑛

Chứng minh tính chất đường phân giác của hai góc kề bù:

Ta có:

𝑚𝑂𝑦ˆ=12𝑥𝑂𝑦ˆ(𝑔𝑡)

𝑦𝑂𝑛ˆ=12𝑦𝑂𝑧ˆ(𝑔𝑡)

Vì tia 𝑂𝑦 nằm giữa hai tia 𝑂𝑚;𝑂𝑛 cho nên:

𝑚𝑂𝑛ˆ=𝑚𝑂𝑦ˆ+𝑦𝑂𝑛ˆ

=12𝑥𝑂𝑦ˆ+𝑦𝑂𝑧ˆ=12(𝑥𝑂𝑦ˆ+𝑦𝑂𝑧ˆ)

=12.180∘=90∘

Suy ra 𝑂𝑚⊥𝑂𝑛

Tính chất phân giác ngoài trong toán học

Định nghĩa phân giác ngoài của tam giác

Ví dụ: Trong tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 , kéo dài cạnh 𝐴𝐵 về phía 𝐴 lấy một điểm 𝐷 bất kì. Ta có hai góc kề bù nhau là góc 𝐵𝐴𝐶ˆ và góc 𝐷𝐴𝐶ˆ . Kẻ phân giác của góc 𝐷𝐴𝐶ˆ ta đc phân giác đó là phân giác ngoài của tam giác tương ứng với đỉnh 𝐴 . Tương tự với hai góc còn lại ta được phân giác ngoài của tam giác ứng với hai đỉnh còn lại.

Giả sử phân giác ngoài tương ứng với đỉnh 𝐴 của tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 cắt đường thẳng 𝐵𝐶 ở điểm 𝐸 . Ta có 𝐴𝐸 là phân giác ngoài của tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 tương ứng với đỉnh 𝐴.

Lấy 𝐴𝐹 là phân giác của góc 𝐵𝐴𝐶ˆ , 𝐹∈𝐵𝐶 , ta còn gọi 𝐴𝐹 là đường phân giác trong của tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 .

Tính chất phân giác ngoài của tam giác

Tính chất: Hai đường phân giác ngoài và phân giác trong của một tam giác tương ứng với cùng một đỉnh thì vuông góc với nhau.

Ví dụ: Trong tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐸 và 𝐴𝐹 lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong ứng với đỉnh 𝐴 với 𝐸;𝐹∈𝐵𝐶 . Theo tính chất ta có 𝐴𝐸∈𝐴𝐹

Chứng minh: Sử dụng tính chất hai đường phân giác của hai góc kề bù với 𝐵𝐴𝐶ˆ và 𝐵𝐴𝐷ˆ là hai góc kề bù.

Các dạng toán về tia phân giác của góc

Dạng 1: Nhận biết tia phân giác của một góc

Phương pháp giải:

Vận dụng định nghĩa tia phân giác của một góc. Để chứng tỏ tia 𝑂𝑧  la tia phân giác của góc 𝑥𝑂𝑦ˆ phải có đủ hai điều kiện :

• Tia 𝑂𝑧 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦 (hoặc 𝑥𝑂𝑦ˆ=𝑥𝑂𝑧ˆ+𝑦𝑂𝑧ˆ ).
• 𝑥𝑂𝑧ˆ=𝑦𝑂𝑧ˆ

Ví dụ 1. (Bài 30 tr. 87 SGK)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia 𝑂𝑥 , vẽ tia 𝑂𝑡 , 𝑂𝑦 sao cho 𝑥𝑂𝑡ˆ=25∘ , 𝑥𝑂𝑦ˆ=50∘ .

a) Tia 𝑂𝑡 có nằm giữa hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦 không?

b) So sánh góc 𝑡𝑂𝑦ˆ và góc 𝑥𝑂𝑡ˆ .

c) Tia 𝑂𝑡 có là tia phân giác của góc 𝑥𝑂𝑦ˆ không ? Vì sao ?

Cách giải:

a) Tia 𝑂𝑡 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦 (1) vì các tia 𝑂𝑡,𝑂𝑦  cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia 𝑂𝑥 và 𝑥𝑂𝑡ˆ<𝑥𝑂𝑦ˆ

b) Tia 𝑂𝑡 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥;𝑂𝑦  nên : 𝑥𝑂𝑡ˆ+𝑡𝑂𝑦ˆ=𝑥𝑂𝑦ˆ,𝑑𝑜đó[𝑙𝑎𝑡𝑒𝑥]25∘+𝑡𝑂𝑦ˆ=50∘   suy ra 𝑡𝑂𝑦ˆ=50∘–25∘=25∘

Vậy 𝑡𝑂𝑦ˆ=𝑥𝑂𝑡ˆ     (2).

c) Từ (1) và (2) suy ra tia 𝑂𝑡 là tia phân giác của 𝑥𝑂𝑦ˆ .

Dạng 2: Tính số đo góc trong tam giác

Phương pháp giải

Dựa và nhận xét : số đo của góc tạo bởi tia phân giác với mỗi cạnh của góc bằng nửa số đo của góc đó.

Ví dụ 1: (Bài 36 tr. 87 SGK)

Cho hai tia 𝑂𝑦;𝑂𝑧  cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia 𝑂𝑥 . Biết 𝑥𝑂𝑦ˆ=30∘  , 𝑥𝑂𝑧ˆ=80∘

Vẽ tia phân giác 𝑂𝑚 của 𝑥𝑂𝑦ˆ . Vẽ tia phân giác 𝑂𝑛 của 𝑦𝑂𝑧ˆ . Tính 𝑚𝑂𝑛ˆ .

Cách giải:

Hai tia 𝑂𝑦,𝑂𝑧 cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia 𝑂𝑥  mà 𝑥𝑂𝑦ˆ<𝑥𝑂𝑧ˆ (30∘<80∘ ) nên tia 𝑂𝑦 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥,𝑂𝑧 do đó 𝑥𝑂𝑦ˆ+𝑦𝑂𝑧ˆ=𝑥𝑂𝑧ˆ , suy ra 𝑦𝑂𝑧ˆ=𝑥𝑂𝑧ˆ–𝑥𝑂𝑦ˆ=80∘–30∘=50∘

Tia 𝑂𝑦 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥,𝑂𝑧 ; tia 𝑂𝑚 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥,𝑂𝑦 , tia 𝑂𝑛  nằm giữa hai tia 𝑂𝑧;𝑂𝑦 nên tia 𝑂𝑦 nằm giữa hai tia 𝑂𝑚,𝑂𝑛 do đó 𝑚𝑂𝑛ˆ=𝑚𝑂𝑦ˆ+𝑦𝑂𝑛ˆ=30∘2+50∘2=40∘

Dạng 3: Tìm tia phân giác của một góc

Phương pháp giải

Xét từng tia, chọn tia nào thỏa mãn định nghĩa tia phân giác của một góc.

Ví dụ 1. Tìm trên hình những tia là tia phân giác biết rằng 𝑂1ˆ=𝑂2ˆ=𝑂3ˆ=𝑂4ˆ

Hướng dẫn:

𝑂𝐵  là tia phân giác của góc 𝐴𝑂𝐶ˆ ;

𝑂𝐶 là tia phân giác của góc 𝐵𝑂𝐷ˆ và 𝐴𝑂𝐸ˆ ;

𝑂𝐷 là tia phân giác của góc 𝐶𝑂𝐸ˆ .

Luyện tập về tính chất đường phân giác của góc

Bài 1: Cho góc 𝑥𝑂𝑦ˆ có số đo bằng 80∘  . Vẽ tia 𝑂𝑚 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥,𝑂𝑦 sao cho 𝑥𝑂𝑚ˆ=40∘ . Tia 𝑂𝑚 có là tia phân giác của góc 𝑥𝑂𝑦ˆ không ? Vì sao ?

Bài 2: Cho hai góc kề bù 𝑥𝑂𝑡ˆ và 𝑦𝑂𝑡ˆ , trong đó 𝑥𝑂𝑡ˆ=50∘ . Trên nửa mặt phẳng bờ 𝑥𝑦 có chứa tia 𝑂𝑡 ta vẽ tia 𝑂𝑧 sao cho 𝑦𝑂𝑧ˆ=80∘ . Tia 𝑂𝑡 có là tia phân giác của góc 𝑥𝑂𝑧ˆ không ? Vì sao ?

Bài 3: Cho hai góc kề 𝐴𝑂𝐵ˆ và 𝐵𝑂𝐶ˆ . Biết số đo của mỗi góc đều bằng 120∘  . Hỏi tia 𝑂𝐵 có là tia phân giác của góc 𝐴𝑂𝐶ˆ không ? Vì sao ?

Bài 4: Cho góc bẹt 𝐴𝑂𝐷ˆ . Trên nửa mặt phẳng bờ 𝐴𝐷 ta vẽ các tia 𝑂𝐵;𝑂𝐶  sao cho 𝐴𝑂𝐵ˆ=60∘;𝐴𝑂𝐶ˆ=120∘ . Trên hình vẽ, tia nào là tia phân giác của một góc ?

Bài 5: Cho hai góc kề bù 𝐴𝑂𝐵ˆ và 𝐵𝑂𝐶ˆ . Vẽ tia phân giác 𝑂𝑀 của góc 𝐵𝑂𝐶ˆ . Giả sử 𝐴𝑂𝐵ˆ gấp đôi 𝐵𝑂𝐶ˆ, tính 𝐴𝑂𝑀ˆ

Tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất 1: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 (hình vẽ) có ba đường phân giác giao nhau tại 𝐼 (𝐼 là giao điểm 3 đường phân giác). Khi đó:

• 𝐴1ˆ=𝐴2ˆ
• 𝐵1ˆ=𝐵2ˆ
• 𝐶1ˆ=𝐶2ˆ
• 𝐼𝐷=𝐼𝐸=𝐼𝐹

Vừa rồi chúng ta vừa tìm hiểu về định lí ba đường phân giác trong tam giác. Sau đây chúng ta hãy khám phá xem với các trường hợp tam giác đặc biệt thì có các tính chất nào nhé!

Tính chất 2: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ: Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 (hình vẽ) có 𝐴𝐷 là đường phân giác ứng với đỉnh 𝐴 với 𝐷∈𝐵𝐶

Theo tính chất 2 ta có 𝐷𝐵𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶

Tính chất 3: Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy

Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại 1 đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng.

Ví dụ: Ta có tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐷 và 𝐴𝐸 lần lượt là đường phân giác trong và đường phân giác ngoài ứng với góc 𝐴ˆ

Ta có 𝐷𝐵𝐷𝐶=𝐸𝐵𝐸𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶

Một số dạng bài tập áp dụng tính chất đường phân giác

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, chu vi, diện tích

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác và tỉ lệ thức để biến đổi và tính toán.

+ Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ 1: Hãy chọn câu đúng. Tỉ số 𝑥𝑦 của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết các số trên hình cùng đơn vị đo là 𝑐𝑚 :

1. 715
2. 17
3. 157
4. 115

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức hình học và các bài toán khác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác:  “Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hoai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”

Ví dụ 1: Cho Δ𝐴𝐵𝐶 ; 𝐴𝐸 là phân giác ngoài của góc 𝐴ˆ . Hãy chọn câu đúng:

1. 𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐵𝐸𝐶𝐸
2.  𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐵𝐸𝐶𝐸
3.  𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐶𝐸𝐵𝐸
4.  𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐸𝐶𝐸

Công thức đường phân giác trong tam giác

Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 nhọn có đường phân giác trong 𝐴𝐷.𝑇𝑎𝑐ó𝑐ô𝑛𝑔𝑡ℎứ𝑐𝑡í𝑛ℎđộ𝑑à𝑖đườ𝑛𝑔𝑝ℎâ𝑛𝑔𝑖á𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔[𝑙𝑎𝑡𝑒𝑥]𝐴𝐷𝑡ℎ𝑒𝑜𝑏𝑎𝑐ạ𝑛ℎ[𝑙𝑎𝑡𝑒𝑥]𝐴𝐵;𝐴𝐶 và góc 𝐴ˆ :

𝐴𝐷=2.𝐴𝐵.𝐴𝐶.cos𝐴2𝐴𝐵+𝐴𝐶

Chứng minh công thức:

𝑆Δ𝐴𝐵𝐷+𝑆Δ𝐴𝐶𝐷=𝑆Δ𝐴𝐵𝐶

⇔12𝐴𝐵.𝐴𝐷.sin𝐴2+12.𝐴𝐷.𝐴𝐶.sin𝐴2=12.𝐴𝐵.𝐴𝐶.sin𝐴

⇔12.𝐴𝐷.sin𝐴2(𝐴𝐵+𝐴𝐶)=12.𝐴𝐵.𝐴𝐶.2.sin𝐴2.cos𝐴2

⇔𝐴𝐷=2.𝐴𝐵.𝐴𝐶.cos𝐴2𝐴𝐵+𝐴𝐶

Tính chất đường phân giác trong tam giác đặc biệt

Tính chất đường phân giác trong tam giác cân

Định lí: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Đồng thời cũng là đường cao ứng với đỉnh đó.

Ví dụ:

Cho tam giác Δ𝐴𝐵𝐶 (hình vẽ) cân tại 𝐴 (𝐴𝐵=𝐴𝐶 ) và  𝐴𝐷 là đường phân giác tương ứng với đỉnh 𝐴 (𝐴1ˆ=𝐴2ˆ )

Ta có 𝐵𝐷=𝐵𝐶 và 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶

Chứng minh: 

Ta có 𝐴𝐵=𝐴𝐶 , 𝐴𝐷 chung và 𝐴1ˆ=𝐴2ˆ

suy ra Δ𝐵𝐴𝐷=Δ𝐶𝐴𝐷(𝑐.𝑔.𝑐)

từ đó tương ứng ta có 𝐵𝐷=𝐶𝐷 nên 𝐴𝐷 là đường trung tuyến của tam giác Δ𝐴𝐵𝐶.

Ngoài ra do Δ𝐵𝐴𝐷=Δ𝐶𝐴𝐷(𝑐.𝑔.𝑐)  nên 𝐴𝐷𝐵ˆ=𝐴𝐷𝐶ˆ

mặt khác 𝐴𝐷𝐵ˆ+𝐴𝐷𝐶ˆ=180∘

nên 𝐴𝐷𝐵ˆ=𝐴𝐷𝐶ˆ=90∘

Vì vậy  𝐴𝐷⊥𝐵𝐶

Các dạng toán thường gặp về đường phân giác trong tam giác

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất:

• Ta sử dụng định lý: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
• Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba.
• Giao điểm các đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Dạng 3: Chứng minh tia phân giác của một góc

Phương pháp:

Ta sử dụng một trong các cách sau:

• Sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
• Sử dụng định nghĩa phân giác.
• Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai tam giác bằng nhau.

Dạng 4: Bài toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt  

Đây là dạng toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều…

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Bài toán cách chứng minh tia phân giác

Để chứng minh tia 𝑂𝑧 là tia phân giác của góc 𝑥𝑂𝑦ˆ trong mặt phẳng các bạn có thể sử dụng một trong 8 cách sau đây:

1. Chứng minh tia 𝑂𝑧 nằm giữa tia 𝑂𝑥;𝑂𝑦 và 𝑥𝑂𝑧ˆ=𝑦𝑂𝑧ˆ
2. Chứng minh 𝑥𝑂𝑧ˆ=12𝑥𝑂𝑦ˆ hay 𝑦𝑂𝑧ˆ=12𝑥𝑂𝑦ˆ
3. Chứng minh trên tia 𝑂𝑧 có một điểm cách đều hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦
4. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân.
5. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác.
6. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông.
7. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.
8. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Vừa rồi chúng ta đã làm quen với những khái niệm cơ bản về góc nói chung và đường phân giác của góc cũng như của tam giác nói chung. Các bạn hãy đọc lại bài thật kĩ và luyện tập thông qua một số bài tập sau đây nhé!.

Bài tập tự luyện tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1: Cho tam giác tam giác 𝛿𝐴𝐵𝐶 với 𝐴𝐵=𝑐 ; 𝐴𝐶=𝑏 ; 𝐵𝐶=𝑎 . Kẻ tia phân giác 𝐴𝐷 của góc 𝐴ˆ .

1. Tính độ dài các đoạn thẳng 𝐵𝐷;𝐶𝐷
2. Đường thẳng song song với 𝐴𝐶 , kẻ từ 𝐷 , cắt cạnh 𝐴𝐵 tại điểm 𝐸 . Tính 𝐵𝐸;𝐴𝐸 và 𝐷𝐸 .

Cách giải:

1. Ta có, theo định lí về tính chất của đường phân giác

𝐷𝐵𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶⇒𝐷𝐵𝐷𝐶=𝑐𝑏⇒𝐷𝐵𝐷𝐵+𝐷𝐶=𝑐𝑏+𝑐

⇒𝐷𝐵𝐵𝐶=𝑐𝑏+𝑐⇒𝐷𝐵=𝑎𝑐𝑏+𝑐

Tương tự ta có: 𝐷𝐶=𝑎𝑏𝑏+𝑐

2. Ta có 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 nên:

𝐵𝐸𝐵𝐴=𝐵𝐷𝐵𝐶⇒𝐵𝐸𝑐=𝑐𝑏+𝑐

⇒𝐵𝐸=𝑐2𝑏+𝑐

Tương tự ta có ⇒𝐴𝐸=𝑏𝑐𝑏+𝑐

𝐴𝐷 là phân giác góc 𝐴ˆ nên 𝐴1ˆ=𝐴2ˆ

Ta có 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 nên: 𝐷ˆ=𝐴1ˆ

⇒Δ𝐴𝐸𝐷 cân tại 𝐸 cho ta 𝐷𝐸=𝐴𝐸=𝑏𝑐𝑏+𝑐

Bài 2: Cho tam giác tam giác 𝛿𝐴𝐵𝐶 có cạnh 𝐵𝐶 cố định ; đỉnh 𝐴 thay đổi nhưng tỉ số 𝐴𝐵𝐴𝐶=𝑘 , với 𝑘 là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh 𝐴 cắt cạnh 𝐵𝐶 và cắt đường thẳng 𝐵𝐶 theo thứ tự tại các điểm 𝐷;𝐸 .

1. Chứng minh rằng 𝐷;𝐸 là hai điểm cố định.
2. Tìm quỹ tích điểm 𝐴

Cách giải:

1. Ta có theo định lí về tính chất của đường phân giác ta có:

𝐷𝐵𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶=𝑘

𝐸𝐵𝐸𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶=𝑘

Các tỉ số 𝐷𝐵𝐷𝐶 và 𝐸𝐵𝐸𝐶 bằng 𝑘 không đổi; hai điểm 𝐵 và 𝐶 cố định, suy ra hai điểm 𝐷 và 𝐸 chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định 𝐵𝐶 theo một tỉ số không đổi nên 𝐷 và [/latex] E [/latex] là hai điểm cố định.

2. 𝐴𝐷 và 𝐴𝐸 là các tia phân giác của hai góc kề bù vì vậy:

𝐴𝐷⊥𝐴𝐸⇒𝐷𝐴𝐸ˆ=90∘

Điểm 𝐴 nhìn đoạn thẳng cố định 𝐷𝐸 dưới một góc vuông. Vì vậy quỹ tích điểm 𝐴 là đường tròn đường kính 𝐷𝐸 (có tâm là trung điểm 𝐼 của đoạn thẳng 𝐷𝐸 và bán kính là 𝐷𝐸2 )

Bài 3: Cho tam giác 𝛿𝐴𝐵𝐶, kẻ tia phân giác 𝐴𝐷 . Trên tia đối của tia 𝐵𝐴 lấy điểm 𝐸 sao cho 𝐵𝐸=𝐵𝐷 và trên tia đối của tia 𝐶𝐴 lấy điểm 𝐹 sao cho 𝐶𝐹=𝐶𝐷

1. Chứng minh 𝐸𝐹∥𝐵𝐶
2. Chứng minh 𝐸𝐷 là phân giác của góc 𝐵𝐸𝐹ˆ và 𝐹𝐷 là phân giác của góc 𝐶𝐹𝐸ˆ

Cách giải:

1. Ta có 𝐴𝐷 là phân giác của góc 𝐴ˆ nên:

𝐵𝐷𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶

Theo giả thiết ta có 𝐵𝐸=𝐵𝐷 và 𝐶𝐹=𝐶𝐷 nên ta được:

𝐸𝐵𝐹𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶⇒𝐸𝐵𝐴𝐵=𝐹𝐶𝐴𝐶

Theo định lí Talet ta suy ra 𝐸𝐹∥𝐵𝐶

2. Δ𝐷𝐵𝐸 cân ⇒𝐸1ˆ=𝐷1ˆ

𝐸𝐹∥𝐵𝐶⇒𝐷1ˆ=𝐸2ˆ⇒𝐸1ˆ=𝐸2ˆ

⇒𝐸𝐷 là tia phân giác của góc 𝐵𝐸𝐹ˆ

Trường hợp còn lại, chứng minh tương tự (hoặc có thể nhân xét, 𝐷 là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác 𝛿𝐴𝐸𝐹 .

Xem thêm

• Góc
• Bài toán chia ba một góc
• Tam giác Morley

Tham khảo

Sách giáo khoa Toán 6 tập 2

Sách giáo khoa Toán 7 tập 2