a) Ta có:

Xét ∆OCB và ∆OAD có:

+) chung

+) (chứng minh trên)

đồng dạng ∆OAD ( c-g-c)

(2 góc tương ứng) hay

b) Xét ∆ICD và ∆IAB có

(hai góc đối đỉnh) (1)

(theo câu a) (2)

Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Vậy hai tam giác IAB và ICD có các góc bằng nhau từng đôi một.

Giả sử ∆A’B’C’ đồng dạng ∆ABC theo tỉ số k, A’M’, AM là hai đường trung tuyến tương ứng.

Vì ∆A’B’C’ đồng dạng ∆ABC (giả thiết)

(tính chất hai tam giác đồng dạng)

Mà B’C’ = 2B’M’, BC = 2BM (tính chất trung tuyến)

Xét ∆ABM và ∆A’B’M’ có:

(vì đồng dạng ∆ABC)

(chứng minh trên)

đồng dạng ∆ABM (c-g-c)

Cách dựng:

– Dựng

– Trên hai cạnh Ax, Ay của góc lần lượt dựng . Kẻ đường cao AI của ∆AMN.

– Trên tia AI lấy điểm H sao cho , qua H vẽ đường song song với MN cắt Ax, Ay lần lượt tại B và C

thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chứng minh:

Áp dụng định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho ta có:

MN // BC (theo cách dựng)

Suy ra ∆AMN đồng dạng ∆ABC.

(tính chất hai tam giác đồng dạng)

Vì AH ⊥ MN, mà MN//BC nên , là đường cao của tam giác ABC.

Vậy tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.