Không gian mẫu là gì? Định nghĩa và ví dụ về Không gian mẫu mới nhất 2023

Trong lý thuyết xác suất, không gian mẫu hay không gian mẫu toàn thể, thường được ký hiệu là S, Ω hay U (tức “universal set”), của một thí nghiệm hay của một phép thử ngẫu nhiên là tập hợp của tất cả các kết quả ĐỒNG KHẢ NĂNG có thể xảy ra. Ví dụ, trong thí nghiệm tung một đồng xu, không gian mẫu của thí nghiệm đó là tập hợp {ngửa, sấp}. Còn đối với thí nghiệm tung một con xúc xắc có sáu mặt thì, không gian mẫu là tập {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bất kì tập hợp con nào của không gian mẫu đều thường được gọi là một biến cố, khi tập con của không gian mẫu chỉ chứa một phần tử thì được gọi là biến cố cơ bản. Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là một mẫu.

Đối với một số thí nghiệm, có thể có hai hoặc nhiều hơn không gian mẫu. Ví dụ, khi rút một quân bài từ một bộ bài thường, có 52 cây, một khả năng cho không gian mẫu có thể là hạng của quân bài (từ quân Xì tới quân Già), trong khi khả năng kia có thể là hoa của quân bài (chuồn, rô, cơ, bích). Một sự thể hiện hoàn chỉnh về kết quả, tuy nhiên, phải xác định được cả thứ hạng và hoa của lá bài, và một không gian mẫu mô tả cụ thể từng lá bài có thể được xây dựng bằng tích Descartes của hai không gian đã nêu trên.

Không gian mẫu có vẻ như là một cách tiếp cận xác suất rất tự nhiên (tức là ngay từ khi nghiên cứu xác suất người ta đã đưa ra khái niệm này rồi), nhưng nó là thành phần quan trọng trong không gian xác suất (một khái niệm của xác suất hiện đại). Một không gian xác suất (Ω, F, P) kết hợp chặt chẽ giữa một không gian mẫu kết quả, Ω, định nghĩa cho một tập biến cố theo sở thích, σ-đại số F, mà theo đó, đơn vị đo xác suất P được định nghĩa.

Phép thử

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Kết quả của nó không đoán trước được.
Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

Ví dụ:

Số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc
Chọn một lá bài từ bộ bài 52 lá

Biến cố

Biến cố $A$ liên quan đến phép thử $T$ là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của $A$ tùy thuộc vào kết quả của $T$ .

Mỗi kết quả của phép thử $T$ làm cho $A$ xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho $A$ .

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ được kí hiệu là $Ω_{A}$ .

Ví dụ: Với phép thử số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc. Gọi biến cố A là biến cố mà số chấm xuất hiện là số chẵn. Ta sẽ có $Ω_{A} =$ { $2, 4, 6$ } và $n_{A} = 3$ .

Một số loại biến cố cơ bản

- Biến cố sơ cấp: là biến cố không thể phân tích được nữa. Ví dụ tung một đồng tiền, biến cố xuất hiện mặt sấp hoặc biến cố xuất hiện mặt ngửa gọi là các biến cố sơ cấp.
- Biến cố chắc chắn (Ω): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là $Ω$ (Omega). Ví dụ khi tung một con xúc xắc thì biến cố mặt con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7 là một biến cố chắc chắn.

- Biến cố ngẫu nhiên: là biến có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Phép thử mà các biến cố của nó là các biến cố ngẫu nhiên gọi là phép thử ngẫu nhiên.

Biến cố không thể (Φ): là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là Φ. Như vậy “biến cố không thể” không bao hàm một biến cố sơ cấp nào, nghĩa là không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố không thể.
Biến cố xung khắc: hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ví dụ, khi tung một đồng tiền, biến cố xuất hiện mặt sấp (A) và biến cố xuất hiện mặt ngửa (B) là 2 biến cố xung khắc.

4. Xác xuất của biến cố

Giả sử phép thử $T$ có không gian mẫu $Ω$ là một tập hữu hạn và các kết quả của $T$ là đồng khả năng. Nếu $A$ là một biến cố liên quan với phép thử $T$ và $Ω_{A}$ là một tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ thì xác suất của $A$ là một số, kí hiệu là $P (A)$ được xác định bởi công thức:

Công thức tính xác xuất của biến cố

P (A) = n ^{Ω} n ^{A}

Trong đó:

n_{A}

là số phần tử của biến cố

A

n_{Ω}

là số phần tử của

Ω

P(A) là xác suất của biến cố A

Từ định nghĩa, ta sẽ luôn luôn có các tính chất sau:

$0 ⩽ P (A) ⩽ 1$
$P (Ω) = 1$ .
$P (\emptyset) = 0$

Ví dụ: Với phép thử số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc. Gọi biến cố A là biến cố mà số chấm xuất hiện là số chẵn. Ta sẽ có $Ω_{A} =$ { $2, 4, 6$ } và $n_{A} = 3$ . Khi đó, xác suất của biến cố A là:

$P (A) = n ^{Ω} n ^{A} = 6 3 = 0.5$

Wikipedia

Không gian mẫu là gì? Định nghĩa và ví dụ về Không gian mẫu mới nhất 2023