Ma trận đối xứng là gì? Chi tiết về Ma trận đối xứng mới nhất 2023

Ma trận đối xứng là gì?

Trong đại số tuyến tính, một ma trận đối xứng là một ma trận vuông, A, bằng chính ma trận chuyển vị của nó.

Mỗi phần tử của một ma trận đối xứng thì đối xứng qua đường chéo. Do vậy, nếu các phần tử được viết dưới dạng A = (aij), thì

cho mọi ij. Ví dụ, ma trận 3×3 dưới đây đối xứng:

Mọi ma trận chéo đều đối xứng, bởi vì mọi phần tử không nằm trên đường chéo đều có giá trị 0.

Một ma trận đối xứng thực biểu diễn một toán tử tự liên hợp[1] trên một không gian tích trong thực. Khái niệm tương tự trong không gian tích trong phức là ma trận Hermite với các phần tử số phức, ma trận Hermite bằng chính chuyển vị liên hợp của nó.

Ví dụ 1.1: A = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array}} \right )  là ma trận cấp 2 x 3. B = \left( {\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array}} \right )  là ma trận cấp 3 x 2.

Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: a_{ij} = i^2 - j^2 , \forall i,j = 1, ... , 4

Nhận xét:

– Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát.

– Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.

– Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K)

– Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột

– Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được gọi là đường chéo chính của A.

Tính chất ma trận đối xứng

Tính chất cơ bản

  • Tổng và hiệu của hai ma trận đối xứng là ma trận đối xứng.
  • Đối với tích hai ma trận đối xứng, nếu , là ma trận đối xứng thì tích  đối xứng khi và chỉ khi , giao hoán (có nghĩa là ).
  • Cho số nguyên dương , đối xứng khi và chỉ khi  đối xứng.
  • Nếu tồn tại, thì nó đối xứng khi và chỉ khi  đối xứng.

Phân tích thành ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi ma trận vuông đều có thể viết thành tổng của ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng.Cách viết này là duy nhất. Phép phân tích này được gọi là phép phân tích Toeplitz. Nếu

là không gian của các ma trận vuông

,

là không gian của các ma trận đối xứng

là không gian của các ma trận phản đối xứng

thì

, hay:

với

kí hiệu phép tính tổng trực tiếp. Nếu

thì

.

Quan sát rằng

. Điều này đúng với mọi ma trận vuông có các phần tử nhập từ các trường có độ đặc trưng khác 2.

Các phép toán trên ma trận

1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau)

Cho A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) .

Ta nói A = B khi và chỉ khi: a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Với A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} d & e & f \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right )  Thì A = B \leftrightarrow a = 4 , b = 5 , c = 6 , d = 1, e = 2, f = 3

Hai ma trận A = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right )  không thể bằng nhau do không cùng cấp.

2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):

Cho A = (a_{ij}) \in M_{mxn}(K)  . Ta nói:

B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K)  là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu:

a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j

Ví dụ: Nếu A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{array}} \right )  thì {A^T} = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{array}} \right )

3. Tính chất 2.1:

Cho A, B \in M_{mxn}(K)  . Khi đó:

1. (A^T)^T = A

2. A^T = B^T \Leftrightarrow A = B

Ghi chú:

Cho A \in M_n(K)  . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu A= – A thì ta nói A là ma trận phản xứng.

Ví dụ: A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{array}} \right )  là ma trận đối xứng. B = \left ( {\begin{array}{ccc} 0 & 1 & {-2} \\ {-1} & 0 & 3 \\ 2 & {-3} & 0  \\ \end{array}} \right )  là ma trận phản xứng.

Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.

4. Phép nhân một số với một ma trận:

Cho A \in M_{mxn}(K) , a \in K  Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K)  được xác định bởi: c_{ij} = a.a_{ij}

– Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.
5. Cộng hai ma trận:

Cho A, B \in M_{mxn}(K)

Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K)  được xác định bởi: c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
6. Tính chất 2.2:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K  Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)

7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho:

image024

8. Định lý 2.1:

Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K  . Khi đó:

1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A

2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

3.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A

4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0

5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA

6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT

Ma trận tương đẳng với ma trận đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận chuẩn tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận đối xứng thực[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận đối xứng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ma trận
  • Ma trận chuyển vị

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:”“”””””‘””’”}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg”)right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg”)right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg”)right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url(“//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg”)right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Jesús Rojo García (1986). Álgebra lineal (bằng tiếng Tây Ban Nha) (ấn bản 2). Editorial AC. ISBN 84-7288-120-2.


Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ma_trận_đối_xứng&oldid=64757854”

Từ khóa:

ma trận đối xứng
ma trận đối xứng là gì
tính chất ma trận đối xứng
ma tran doi xung
ma trận phản đối xứng
ma trận phản xứng
ma trận phản đối xứng là gì
ma trận đối
ma trận phản xứng là gì
ma trận phản đối xứng vị dụ
ma trận đối xứng qua đường chéo chính
LADIGI – Công ty dịch vụ SEO Google giá rẻ, SEO từ khóa, SEO tổng thể cam kết lên Top Google uy tín chuyên nghiệp, an toàn, hiệu quả.

Nguồn: Wikipedia

Scores: 4.9 (175 votes)

100 lần tự tìm hiểu cũng không bằng 1 lần được tư vấn