Nhóm nhị diện là gì? Chi tiết về Nhóm nhị diện mới nhất 2023

Cấu trúc đại số → Lý thuyết nhóm Lý thuyết nhóm
Khái niệm cơ sở Nhóm con Nhóm con chuẩn tắc Nhóm đơn Nhóm thương Tích nửa trực tiếp Đồng cấu nhóm Nhân Ảnh Tổng trực tiếp của nhóm Tích bện Nhóm đơn Nhóm hữu hạn Nhóm vô hạn Nhóm liên tục Nhóm phép nhân Nhóm phép cộng Nhóm cyclic Nhóm Abel Nhóm nhị diện Nhóm lũy linh Nhóm giải được Các chủ đề của lý thuyết nhóm Từ vựng trong lý thuyết nhóm
Nhóm hữu hạn Phân loại nhóm đơn hữu hạn. Nhóm xilic Cp Nhóm đối xứng Sn Nhóm nhị diện Dn Nhóm thay phiên An Nhóm Mathieu M11 M12 M22 M23 M24 Nhóm Conway Co1 Co2 Co3 Nhóm Janko J1 J2 J3 J4 Nhóm Fischer F22 F23 F24 Nhóm Quỷ Nhỏ (B) Nhóm Quỷ (M)
Nhóm rời rạc Lưới Số nguyên (Z) Lưới Nhóm modular PSL(2,Z) SL(2,Z)
Nhóm tô pô / Nhóm Lie Solenoid Nhóm đường tròn Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n) Nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n) Nhóm trực giao O(n) Nhóm Euclide E(n) Nhóm trực giao đặc biệt SO(n) Nhóm unita U(n) Nhóm unita đặc biệt SU(n) Nhóm symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Nhóm Lorentz Nhóm Poincaré Nhóm bảo giác Vi đồng phôi Nhóm vòng Nhóm Lie vô hạn chiều O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Nhóm đại số Đường cong eliptic Nhóm đại số tuyến tính Đa tạp Abel
x t s

Nhóm đối xứng của một bông tuyết là D₆, giống với đối xứng nhị diện của lục giác

Trong toán học, một nhóm nhị diện là một nhóm các đối xứng của một đa giác đều,^[1][2] gồm các phép quay, các phép phản xạ và các phép quay phi chính. Nhóm nhị diện là một trong những ví dụ đơn giản nhất của các nhóm hữu hạn, có vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm, hình học và hóa học.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Các phần tử[sửa | sửa mã nguồn]

The six axes of reflection of a regular hexagon

Một đa giác đều với ${displaystyle n}$ cạnh có ${displaystyle 2n}$ đối xứng khác nhau: có ${displaystyle n}$ đối xứng quay và ${displaystyle n}$ đối xứng phản xạ. Thường thì ta chỉ xét ${displaystyle ngeq 3}$ . Các phép quay và phản xạ nói trên tạo nên nhóm nhị diện ${displaystyle mathrm {D} _{n}}$. Nếu ${displaystyle n}$ lẻ, mỗi trục đối xứng nối trung điểm của một cạnh sang điểm đối diện. Nếu ${displaystyle n}$ chẵn, thì ta có ${displaystyle n/2}$ trục đối xứng nối trung điểm của các cạnh đối diện nhau và ${displaystyle n/2}$ trục đối xứng giữa hai điểm đối diện. Bất kể trường hợp nào, ta đều có ${displaystyle n}$ trục đối xứng và ${displaystyle 2n}$ phần tử trong nhóm.^[3] Phản xạ qua một trục đối xứng theo sau một phản xạ khác qua một trục đối xứng khác sẽ cho phép quay với góc bằng hai lần góc giữa hai trục.^[4]

Bức ảnh sau minh họa tác dụng của 16 phần tử của nhóm ${displaystyle mathrm {D} _{8}}$ trên biển giao thông:

Hàng đầu tiên biểu diễn tác động dưới phép quay, và hàng thứ hai biểu diễn tác động của phép phản xạ, Trong đó mỗi trường hợp tác động với biển ban đầu tại góc trên bên trái.

Cấu trúc nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Giống như mọi đối tượng hình học, hợp của hai đối xứng của một đa giác đều cũng là đối xứng của nó. Với phép hợp thực hiện như một phép toán hai ngôi, Các đối xứng của đa giác đều hình thành nên cấu trúc đại số của nhóm hữu hạn.^[5]

Các đường phản xạ được gọi là S₀, S₁, và S₂ được giữ nguyên (trên giấy) và không di chuyển khi phép đối xứng (quay hoặc phản xạ) được thực hiện trên tam giác

The composition of these two reflections is a rotation.

Bảng Cayley sau cho thấy tác động của nhóm D₃ (các đối xứng của tam giác đều). r₀ là phần tử đơn vị; r₁ và r₂ biểu thị phép quay ngược kim đồng hồ 120° và 240° tương ứng, còn s₀, s₁ và s₂ biểu thị phản xạ quả ba đường như trong ảnh sau.

Ví dụ, s₂s₁ = r₁, vì phản xạ s₁ theo sau phản xạ s₂ tạo thành phép quay 120°. Phép hợp không có tính giao hoán.^[5]

Tổng quát thì, nhóm D_n có r₀, …, r_n−1 và s₀, …, s_n−1, với phép hợp thỏa mãn công thức sau:

${displaystyle mathrm {r} _{i},mathrm {r} _{j}=mathrm {r} _{i+j},quad mathrm {r} _{i},mathrm {s} _{j}=mathrm {s} _{i+j},quad mathrm {s} _{i},mathrm {r} _{j}=mathrm {s} _{i-j},quad mathrm {s} _{i},mathrm {s} _{j}=mathrm {r} _{i-j}.}$

Trong mọi trường hợp, cộng và trừ các phần tử ${displaystyle i,j}$ dùng phép toán modulo với modulo n.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Bài viết về chủ đề toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s