Phần nguyên là gì? Chi tiết về Phần nguyên mới nhất 2023

Các hàm Floor và ceiling

Hàm Floor

Hàm Ceiling

Trong toán học và khoa học máy tính, hàm floor và ceiling là các quy tắc cho tương ứng một số thực vào một số nguyên gần nhất bên trái và bên phải số đã cho.
Vậy floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, còn ceiling(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn x.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Gauss giới thiệu cặp ngoặc vuông [x] cho hàm floor trong tương hỗ bậc hai (1808).^[1]
Nó vẫn là ký hiệu tiêu chuẩn^[2] trong toán học cho đến khi Iverson giới thiệu các hàm “floor” và “ceiling” với các ký hiệu

{displaystyle lfloor xrfloor }

${displaystyle lfloor xrfloor }$ và

{displaystyle lceil xrceil }

${displaystyle lceil xrceil }$ vào năm 1962 trong ngôn ngữ lập trình APL của ông ấy.^[3]^[4] Bây giờ cả hai cách ký hiệu vẫn đang được dùng trong toán học.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

x	Floor(x) ${displaystyle lfloor ;rfloor }$	Ceiling(x) ${displaystyle lceil ;rceil }$	Phần lẻ ${displaystyle {;}}$
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0
12/5 = 2.4	2	3	2/5 = 0.4
2.7	2	3	0.7

Đọc phần bên dưới để biết thêm về định nghĩa phần lẻ.

Định nghĩa và tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những công thức dưới đây x và y là các số thực, k, m, và n là các số nguyên, và

{displaystyle mathbb {Z} }

${displaystyle mathbb {Z} }$ là tập hợp số nguyên (số dương, số âm, và không).

Floor và ceiling có thể được định nghĩa bằng tập hợp như sau

{displaystyle lfloor xrfloor =max ,{nin mathbb {Z} mid nleq x},}

{displaystyle lceil xrceil =min ,{nin mathbb {Z} mid ngeq x}.}

Trong nửa khoảng có độ dài bằng một có duy nhất một số nguyên, vậy với số thực x tùy ý, có duy nhất cặp m, n thỏa mãn:

{displaystyle x-1<mleq xleq n<x+1.;}

Khi đó

{displaystyle lfloor xrfloor =m;}

${displaystyle lfloor xrfloor =m;}$ và

{displaystyle ;lceil xrceil =n;}

${displaystyle ;lceil xrceil =n;}$ có thể là định nghĩa cho các hàm floor và ceiling.

Phần lẻ x ký hiệu

{displaystyle {x}}

${displaystyle {x}}$ là hàm số định nghĩa theo công thức sau,

{displaystyle {x}=x-lfloor xrfloor ,}

${displaystyle {x}=x-lfloor xrfloor ,}$ và toán tử mô-đun được định nghĩa theo công thức:

{displaystyle x,{bmod {,}}y=x-yleftlfloor {frac {x}{y}}rightrfloor .}

${displaystyle x,{bmod {,}}y=x-yleftlfloor {frac {x}{y}}rightrfloor .}$

Tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức dưới đây dùng để rút gọn các biểu thức chứa các hàm floor, ceiling.^[5]

{displaystyle {begin{aligned}lfloor xrfloor =n&;;Leftrightarrow &n&leq x<n+1,\lceil xrceil =n&;;Leftrightarrow &n-1&<xleq n,\lfloor xrfloor =n&;;Leftrightarrow &x-1&<nleq x,\lceil xrceil =n&;;Leftrightarrow &x&leq n<x+1.end{aligned}}}

In the language of order theory, the floor function is a residuated mapping, that is, part of a Galois connection: it is the upper adjoint of the function that embeds the integers into the reals.

{displaystyle {begin{aligned}x<n&;;Leftrightarrow &lfloor xrfloor &<n,\n<x&;;Leftrightarrow &n&<lceil xrceil ,\xleq n&;;Leftrightarrow &lceil xrceil &leq n,\nleq x&;;Leftrightarrow &n&leq lfloor xrfloor .end{aligned}}}

Các công thức dưới đây đưa ra quy tắc khi cộng thêm một số nguyên vào các hàm phần nguyên như thế nào:

{displaystyle {begin{aligned}lfloor x+nrfloor &=lfloor xrfloor +n,\lceil x+nrceil &=lceil xrceil +n,\{x+n}&={x}.end{aligned}}}

Các công thức trên không đúng nếu n không phải số nguyên, tuy vậy:

{displaystyle {begin{aligned}&lfloor xrfloor +lfloor yrfloor &leq ;lfloor x+yrfloor ;&leq ;lfloor xrfloor +lfloor yrfloor +1,\&lceil xrceil +lceil yrceil -1&leq ;lceil x+yrceil ;&leq ;lceil xrceil +lceil yrceil .end{aligned}}}

Mối liên hệ giữa các hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Từ định nghĩa dễ dàng có được

{displaystyle lfloor xrfloor leq lceil xrceil ,}

{displaystyle lceil xrceil -lfloor xrfloor ={begin{cases}0&{mbox{ if }}xin mathbb {Z} \1&{mbox{ if }}xnot in mathbb {Z} end{cases}}}

n là số nguyên thì:

{displaystyle lfloor nrfloor =lceil nrceil =n.}

Khi số âm là đối số thì đổi các hàm floor và ceil đồng thời đưa dấu trừ ra ngoài:

{displaystyle lfloor xrfloor +lceil -xrceil =0,}

{displaystyle lfloor -xrfloor =-lceil xrceil ,}

{displaystyle lceil -xrceil =-lfloor xrfloor ,}

{displaystyle lfloor xrfloor +lfloor -xrfloor ={begin{cases}0&{mbox{ if }}xin mathbb {Z} \-1&{mbox{ if }}xnot in mathbb {Z} ,end{cases}}}

{displaystyle lceil xrceil +lceil -xrceil ={begin{cases}0&{mbox{ if }}xin mathbb {Z} \1&{mbox{ if }}xnot in mathbb {Z} .end{cases}}}

Về phần lẻ:

{displaystyle {x}+{-x}={begin{cases}0&{mbox{ if }}xin mathbb {Z} \1&{mbox{ if }}xnot in mathbb {Z} .end{cases}}}

Floor, ceiling, và phần lẻ là hàm idempotent:

{displaystyle {begin{aligned}{Big lfloor }lfloor xrfloor {Big rfloor }&=lfloor xrfloor ,\{Big lceil }lceil xrceil {Big rceil }&=lceil xrceil ,\{Big {}{x}{Big }}&={x}.\end{aligned}}}

Dễ thấy các đẳng thức sau là đúng:

{displaystyle {begin{aligned}{Big lfloor }lceil xrceil {Big rfloor }&=lceil xrceil ,\{Big lceil }lfloor xrfloor {Big rceil }&=lfloor xrfloor .\end{aligned}}}

Với y có định thì, x mod y là hàm idempotent:

{displaystyle (x,{bmod {,}}y),{bmod {,}}y=x,{bmod {,}}y.;}

Cũng từ định nghĩa ta có,

{displaystyle {x}=x,{bmod {,}}1.;}

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n ≠ 0,

{displaystyle 0leq left{{frac {m}{n}}right}leq 1-{frac {1}{|n|}}.}

Nếu n > 0,

{displaystyle leftlfloor {frac {x+m}{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {lfloor xrfloor +m}{n}}rightrfloor ,}

{displaystyle leftlceil {frac {x+m}{n}}rightrceil =leftlceil {frac {lceil xrceil +m}{n}}rightrceil .}

Nếu m > 0,

{displaystyle n=leftlceil {frac {n}{m}}rightrceil +leftlceil {frac {n-1}{m}}rightrceil +dots +leftlceil {frac {n-m+1}{m}}rightrceil ,}

{displaystyle n=leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n+1}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {n+m-1}{m}}rightrfloor .}

Với m = 2:

{displaystyle n=leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor +leftlceil {frac {n}{2}}rightrceil .}

Tổng quát,^[6] với m > 0,

{displaystyle lceil mxrceil =leftlceil xrightrceil +leftlceil x-{frac {1}{m}}rightrceil +dots +leftlceil x-{frac {m-1}{m}}rightrceil ,}

{displaystyle lfloor mxrfloor =leftlfloor xrightrfloor +leftlfloor x+{frac {1}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor x+{frac {m-1}{m}}rightrfloor .}

Biểu thức dưới đây dùng để chuyển đổi floor sang ceiling và ngược lại (m > 0)^[7]

{displaystyle leftlceil {frac {n}{m}}rightrceil =leftlfloor {frac {n+m-1}{m}}rightrfloor =leftlfloor {frac {n-1}{m}}rightrfloor +1,}

{displaystyle leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor =leftlceil {frac {n-m+1}{m}}rightrceil =leftlceil {frac {n+1}{m}}rightrceil -1,}

Nếu m và n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, thì

{displaystyle sum _{i=1}^{n-1}leftlfloor {frac {im}{n}}rightrfloor ={frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}

Vì vế phải của biểu thức trên đối xứng theo m và n, vậy nên ta có biểu thức dưới đây

{displaystyle leftlfloor {frac {m}{n}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2m}{n}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(n-1)m}{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2n}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(m-1)n}{m}}rightrfloor .}

Tổng quát, nếu m và n nguyên dương:

{displaystyle {begin{aligned}&leftlfloor {frac {x}{n}}rightrfloor +leftlfloor {frac {m+x}{n}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2m+x}{n}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(n-1)m+x}{n}}rightrfloor \=&leftlfloor {frac {x}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n+x}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2n+x}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(m-1)n+x}{m}}rightrfloor .end{aligned}}}

Cho các số nguyên dương m, n và số thực ngẫu nhiên x:

{displaystyle leftlfloor {frac {lfloor x/mrfloor }{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {x}{mn}}rightrfloor }

{displaystyle leftlceil {frac {lceil x/mrceil }{n}}rightrceil =leftlceil {frac {x}{mn}}rightrceil }

Sự liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Không có hàm nào chúng ta đang xét là liên tục cả, nhưng đều tuyến tính trên từng đoạn.

{displaystyle lfloor xrfloor }

${displaystyle lfloor xrfloor }$ và

{displaystyle lceil xrceil }

${displaystyle lceil xrceil }$ là hàm hằng trên từng đoạn và gián đoạn tại các điểm nguyên. Hàm

{displaystyle {x}}

${displaystyle {x}}$ cũng gián đoạn tại các điểm nguyên, và

{displaystyle x,{bmod {,}}y}

${displaystyle x,{bmod {,}}y}$ với biến x hằng y gián đoạn tại các bội của y.

{displaystyle lfloor xrfloor }

${displaystyle lfloor xrfloor }$ là bán liên tục trên còn

{displaystyle lceil xrceil }

${displaystyle lceil xrceil }$ và

{displaystyle {x};}

${displaystyle {x};}$ là bán liên tục dưới. x mod y là bán liên tục dưới với y dương và là bán liên tục trên với y âm.

Khai triển chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm chúng ta đang xét đều không liên tục vì thế chúng không có các khai triển chuỗi lũy thừa. Hàm floor và ceiling không liên tục nên không có khai triển Fourier.

Với y cố định, x mod y có khai triển Fourier ^[8]

{displaystyle x,{bmod {,}}y={frac {y}{2}}-{frac {y}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{frac {sin left({frac {2pi kx}{y}}right)}{k}}.}

Phần lẻ {x} = x mod 1 khai triển:

{displaystyle {x}={frac {1}{2}}-{frac {1}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{frac {sin(2pi kx)}{k}}.}

Dùng công thức {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} ta có

{displaystyle lfloor xrfloor =x-{frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{frac {sin(2pi kx)}{k}}.}

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Phần lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm phần lẻ là hàm răng cưa, ký hiệu

{displaystyle {x}}

${displaystyle {x}}$ với x là số thực, được định nghĩa bởi công thức^[9]

{displaystyle {x}=x-lfloor xrfloor .}

Với mọi x,

{displaystyle 0leq {x}<1.;}

Với x>0 trong dạng thập phân, floor(x) là phần bên trái của biểu diễn thập phân, phần lẻ của x là phần bên phải khi thay tất cả các số bên trái bởi 0.

Toán tử mod[sửa | sửa mã nguồn]

Toán tử mod, ký hiệu là x mod y,x, y thực, y ≠ 0, xác định theo công thức

{displaystyle x,{bmod {,}}y=x-yleftlfloor {frac {x}{y}}rightrfloor .}

x mod y luôn nằm giữa 0 và y; i.e.

Nếu y > 0,

{displaystyle 0leq x,{bmod {,}}y<y,}

còn nếu y < 0,

{displaystyle 0geq x,{bmod {,}}y>y.}

Nếu x nguyên còn y nguyên dương,

{displaystyle (x,{bmod {,}}y)equiv x{pmod {y}}.}

x mod y với y có định là hàm răng cưa.

Quadratic reciprocity[sửa | sửa mã nguồn]

Gauss’s third proof of quadratic reciprocity, as modified by Eisenstein, has two basic steps.^[10]^[11]

Let p and q be distinct positive odd prime numbers, and let

{displaystyle m={frac {p-1}{2}},;;n={frac {q-1}{2}}.}

First, Gauss’s lemma is used to show that the Legendre symbols are given by

{displaystyle left({frac {q}{p}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {q}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2q}{p}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {mq}{p}}rightrfloor }}

and

{displaystyle left({frac {p}{q}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {p}{q}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2p}{q}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {np}{q}}rightrfloor }.}

The second step is to use a geometric argument to show that

{displaystyle leftlfloor {frac {q}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2q}{p}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {mq}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {p}{q}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2p}{q}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {np}{q}}rightrfloor =mn.}

Combining these formulas gives quadratic reciprocity in the form

{displaystyle left({frac {p}{q}}right)left({frac {q}{p}}right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{frac {p-1}{2}}{frac {q-1}{2}}}.}

There are formulas that use floor to express the quadratic character of small numbers mod odd primes p:^[12]

{displaystyle left({frac {2}{p}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {p+1}{4}}rightrfloor },}

{displaystyle left({frac {3}{p}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {p+1}{6}}rightrfloor }.}

Làm tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Việc làm tròn các số dương x đến số nguyên gần nhất được diễn tả như sau

{displaystyle lfloor x+0.5rfloor .}

${displaystyle lfloor x+0.5rfloor .}$

Số các chữ số[sửa | sửa mã nguồn]

Số các chữ số trong hệ cơ số b của số nguyên dương k là

{displaystyle lfloor log _{b}{k}rfloor +1.}

Thừa số của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

đặt n nguyên dương và p là số nguyên tố. Lũy thừa của p trong khai triển của n! được cho bởi công thức^[13]

{displaystyle leftlfloor {frac {n}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n}{p^{2}}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n}{p^{3}}}rightrfloor +dots }

Chú ý rằng đó là tổng có giới hạn, số hạng bằng không khi p^k > n.

Beatty sequence[sửa | sửa mã nguồn]

Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.^[14]

Hằng số Euler γ[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là những công thức cho Hằng số Euler γ = 0.57721 56649… chứa các hàm floor và ceiling, e.g.^[15]

{displaystyle gamma =int _{1}^{infty }left({1 over lfloor xrfloor }-{1 over x}right),dx,}

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }{frac {1}{n}},sum _{k=1}^{n}left(leftlceil {frac {n}{k}}rightrceil -{frac {n}{k}}right),}

và

{displaystyle gamma =sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {leftlfloor log _{2}krightrfloor }{k}}={tfrac {1}{2}}-{tfrac {1}{3}}+2left({tfrac {1}{4}}-{tfrac {1}{5}}+{tfrac {1}{6}}-{tfrac {1}{7}}right)+3left({tfrac {1}{8}}-dots -{tfrac {1}{15}}right)+dots }

Hàm Riemann ζ[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức cho số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

n là số nguyên tố khi và chỉ khi^[16]

{displaystyle sum _{m=1}^{infty }left(leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor -leftlfloor {frac {n-1}{m}}rightrfloor right)=2.}

r là số nguyên lớn hơn 1, p_n là số nguyên tố thứ n, ký hiệu

{displaystyle alpha =sum _{m=1}^{infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}

Thì^[17]

{displaystyle p_{n}=leftlfloor r^{n^{2}}alpha rightrfloor -r^{2n-1}leftlfloor r^{(n-1)^{2}}alpha rightrfloor .}

Có số θ = 1.3064… với tính chất

{displaystyle leftlfloor theta ^{3}rightrfloor ,leftlfloor theta ^{9}rightrfloor ,leftlfloor theta ^{27}rightrfloor ,dots }

đều là số nguyên tố.^[18]

Cũng có thêm số ω = 1.9287800… mà

{displaystyle leftlfloor 2^{omega }rightrfloor ,leftlfloor 2^{2^{omega }}rightrfloor ,leftlfloor 2^{2^{2^{omega }}}rightrfloor ,dots }

đều nguyên tố.^[18]

π(x) là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x. Nó được suy luận từ Định lý Wilson^[19]

{displaystyle pi (n)=sum _{j=2}^{n}leftlfloor {frac {(j-1)!+1}{j}}-leftlfloor {frac {(j-1)!}{j}}rightrfloor rightrfloor .}

Nếu n ≥ 2,^[20]

{displaystyle pi (n)=sum _{j=2}^{n}leftlfloor {frac {1}{sum _{k=2}^{j}leftlfloor leftlfloor {frac {j}{k}}rightrfloor {frac {k}{j}}rightrfloor }}rightrfloor .}

Không công thức nào trên đây ứng dụng thực tế.

Vấn đề đã giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Ramanujan đã gửi các bài toán sau đây đến Journal of the Indian Mathematical Society.^[21]

Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

{displaystyle leftlfloor {tfrac {n}{3}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+2}{6}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+4}{6}}rightrfloor =leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+3}{6}}rightrfloor ,}

{displaystyle leftlfloor {tfrac {1}{2}}+{sqrt {n+{tfrac {1}{2}}}}rightrfloor =leftlfloor {tfrac {1}{2}}+{sqrt {n+{tfrac {1}{4}}}}rightrfloor ,}

{displaystyle leftlfloor {sqrt {n}}+{sqrt {n+1}}rightrfloor =leftlfloor {sqrt {4n+2}}rightrfloor .}

Vấn đề chưa giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Có số nguyên dương k nào thỏa mãn, k ≥ 6, mà:^[22]

{displaystyle 3^{k}-2^{k}leftlfloor left({tfrac {3}{2}}right)^{k}rightrfloor >2^{k}-leftlfloor left({tfrac {3}{2}}right)^{k}rightrfloor -2;;?}

Mahler^[23] đã chứng minh chỉ có hữu hạn số k như vậy; tuy nhiên người ta vẫn chưa biết số nào như vậy.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số nguyên gần nhất.
Truncation, một hàm tương tự.
Step function.

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

^ Lemmermeyer, pp. 10, 23
^ e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss’s notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson’s
^ Higham, p. 25
^ Iverson
^ Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
^ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
^ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
^ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
^ Lemmermeyer, p. 25
^ Hardy & Wright, Th. 416
^ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
^ These formulas are from the Wikipedia article Euler’s constant, which has many more.
^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
^ Hardy & Wright, § 22.3
^ ^a ^ă Ribenboim, p. 186
^ Ribenboim, p. 181
^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
^ Hardy & Wright, p. 337
^ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press.
Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9 Kiểm tra giá trị |isbn=: giá trị tổng kiểm (trợ giúp)
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715
Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4 Kiểm tra giá trị |isbn=: giá trị tổng kiểm (trợ giúp)
Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney (“Roger”) (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (ấn bản 2), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Štefan Porubský, “Integer rounding functions”, Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 10/24/2008

[1] Lemmermeyer, pp. 10, 23

[2] .g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss’s notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson’s

[3] Higham, p. 25

[4] Iverson

[5] Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3

[6] Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15

[7] Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12

[8] Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7

[9] Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70

[10] Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33

[11] Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13

[12] Lemmermeyer, p. 25

[13] Hardy & Wright, Th. 416

[14] Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78

[15] These formulas are from the Wikipedia article Euler’s constant, which has many more.

[16] Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46

[17] Hardy & Wright, § 22.3

[Ribenboim,_p._186-18] ă Ribenboim, p. 186

[19] Ribenboim, p. 181

[20] Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46

[21] Ramanujan, Question 723, Papers p. 332

[22] Hardy & Wright, p. 337

[23] Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124

Wikipedia

Phần nguyên là gì? Chi tiết về Phần nguyên mới nhất 2023

Mục lục

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa và tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ giữa các hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Sự liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Khai triển chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Phần lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Toán tử mod[sửa | sửa mã nguồn]

Quadratic reciprocity[sửa | sửa mã nguồn]

Làm tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Số các chữ số[sửa | sửa mã nguồn]

Thừa số của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Beatty sequence[sửa | sửa mã nguồn]

Hằng số Euler γ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm Riemann ζ[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức cho số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Vấn đề đã giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Vấn đề chưa giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

La Trọng Nhơn

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa và tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ giữa các hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Sự liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Khai triển chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Phần lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Toán tử mod[sửa | sửa mã nguồn]

Quadratic reciprocity[sửa | sửa mã nguồn]

Làm tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Số các chữ số[sửa | sửa mã nguồn]

Thừa số của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Beatty sequence[sửa | sửa mã nguồn]

Hằng số Euler γ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm Riemann ζ[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức cho số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Vấn đề đã giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Vấn đề chưa giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

La Trọng Nhơn

HƯỚNG DẪN LẤY CODE (CHỈ MẤT 30 GIÂY)

HƯỚNG DẪN LẤY CODE (CHỈ MẤT 30 GIÂY)