Top 18+ Tìm M Để Bất Phương Trình Có Nghiệm Đúng Với Mọi X Thuộc Khoảng Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một trong những chủ đề trọng tâm, thường xuất hiện vào các bài kiểm tra, bài thi chương trình lớp 10 . Tuy nhiên nhiều bạn học sinh chưa nắm vững được phương pháp và cách làm dạng toán này.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm với mọi x bao gồm toàn bộ kiến thức về phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao để giải nhanh Toán 10. Ngoài ra các bạn xem thêm một số tài liệu khác như: tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10, tìm m để phương trình vô nghiệm, Các dạng bài tập toán về mệnh đề và tập hợp, tập nghiệm của bất phương trình, Công thức tính độ dài đường trung tuyến.

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

• f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
• f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là _{0 \ Delta leqslant 0 endarray} right." width="93" height="48" data-latex="Leftrightarrow left{begin{array*{20c} a > 0 \ Delta leqslant 0 endarray} right." data-i="3" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">}
• f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
• f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là _{0 \ Delta < 0 endarray} right." width="93" height="48" data-latex="Leftrightarrow left{begin{array*{20c} a > 0 \ Delta < 0 endarray} right." data-i="7" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">}

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m – 1)x² + 2mx – 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc .

Hướng dẫn giải

Đặt (m – 1)x² + 2mx – 3 = f(x)

TH1: m – 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x – 3 > 0⇒ frac32" width="51" height="40" data-latex="x > frac32" data-i="9" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png"> (Loại)

TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x 0 \ Delta < 0 endarray} right." width="93" height="48" data-latex="Leftrightarrow left{begin{array*{20c} a > 0 \ Delta < 0 endarray} right." data-i="10" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

0 \ 4{m^2 + 12m - 12 < 0} endarray Leftrightarrow left{begin{array*{20c} m > 1 \ m in left( {dfrac{{ - 3 - sqrt {21 }}2;dfrac{ - 3 + sqrt {21 }}2} right)} endarray Leftrightarrow m in emptyset } right.} right." width="593" height="85" data-latex="Leftrightarrow left{begin{array*{20c} m - 1 > 0 \ 4{m^2 + 12m - 12 < 0} endarray Leftrightarrow left{begin{array*{20c} m > 1 \ m in left( {dfrac{{ - 3 - sqrt {21 }}2;dfrac{ - 3 + sqrt {21 }}2} right)} endarray Leftrightarrow m in emptyset } right.} right." data-i="11" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc .

a. (m – 3)x² + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m – 3)x² + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m – 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x

Ta có: m² – 6m + 25 = (m – 3)² + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc

b. Đặt (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 = f(x)

TH1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x 0 \ Delta < 0 endarray} right." width="93" height="48" data-latex="Leftrightarrow left{begin{array*{20c} a > 0 \ Delta < 0 endarray} right." data-i="17" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

0 \ {m^2 - 6m + 25 < 0} endarray Leftrightarrow left{begin{array*{20c} m > 1 \ m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 right)} endarray} right.} right. Leftrightarrow m in left( 11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 right)" width="700" height="51" data-latex="Leftrightarrow left{begin{array*{20c} m - 1 > 0 \ {m^2 - 6m + 25 < 0} endarray Leftrightarrow left{begin{array*{20c} m > 1 \ m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 right)} endarray} right.} right. Leftrightarrow m in left( 11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 right)" data-i="18" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

Vậy thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x² – 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x² – 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² – 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

0Leftrightarrow {m^2}-2>0Leftrightarrow left| m right|>sqrt2Leftrightarrow" width="322" height="25" data-latex="Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow {m^2}-2>0Leftrightarrow left| m right|>sqrt2Leftrightarrow" data-i="1" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png"> _{sqrt2 \ -2 < m <-sqrt2 endmatrixright." width="149" height="52" data-latex="left{beginmatrix m>sqrt2 \ -2 < m <-sqrt2 endmatrixright." data-i="2" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">}

Vậy với |m| < thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x – mx < 4 ⇔ (m² – m)x < 1; m² – m = 0 ⇔m = 0;1 thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0; 1 thì bất phương trình trở thành luôn có nghiệm là

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m – 1)x – 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

⇔ -1 ≤ m ≤ – 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; – 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² – 2mx + 2m – 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = – 4 thì bất phương trình trở thành: 8x – 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

0 \ left| dfracsqrt{Delta}a right|=2 \ endmatrix right.Leftrightarrow left\begin{matrix 1-m>0 \ sqrt1-m=2 \ endmatrixLeftrightarrow m=-3 right. \ endalign" width="380" height="105" data-latex="beginalign & left| x-x' right|=2 \ & Leftrightarrow left\begin{matrix Delta '>0 \ left| dfracsqrt{Delta}a right|=2 \ endmatrix right.Leftrightarrow left\begin{matrix 1-m>0 \ sqrt1-m=2 \ endmatrixLeftrightarrow m=-3 right. \ endalign" data-i="13" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ’ = m² – m

Trường hợp 1: Δ’ ≤ 0 ⇔ m² – m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ’ > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

0 \ a.f(0)ge 0 \ dfracS2<0 \ endmatrix right.Leftrightarrow left\begin{matrix {m^2}-m>0 \ mge 0 \ -m<0 \ endmatrix right.Leftrightarrow m>1" width="337" height="94" data-latex="left\begin{matrix Delta '>0 \ a.f(0)ge 0 \ dfracS2<0 \ endmatrix right.Leftrightarrow left\begin{matrix {m^2}-m>0 \ mge 0 \ -m<0 \ endmatrix right.Leftrightarrow m>1" data-i="14" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x² – 2mx + 3m – 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx² – 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x² – 2x + 1 – m² ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m – 1)x² + (2 – m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m – 2)x² + 2(m + 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m² – 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x² + (m – 1)x – m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m – 2)x² + 2mx – 2 – m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = – (m² + 2)x² – 2mx + 1 – m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx² – (1 – 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0)_.

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x² – x + m > 0

b. mx² – 10x – 5 < 0

c. m(m+2)x² – 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 3m – 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc : (m – 5)x² – 2x + m + 1 > 0

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. 0" width="236" height="24" data-latex="x^2 + 2left( m - 1 right)x + m + 4 > 0" data-i="22" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">	b. 0" width="233" height="24" data-latex="x^2 + left( m + 1 right)x + 2m + 7 > 0" data-i="23" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">
c.	d. 0" width="263" height="24" data-latex="left( m + 2 right)x^2 - 2left( m - 1 right)x + 4 > 0" data-i="25" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

Bài 14: Cho bất phương trình:

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .

Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

a. 0" width="316" height="26" data-latex="x^2 - 2left( m - 2 right)x + 2left( {m^2 - 2x + 2} right) > 0" data-i="28" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

b.

c.

Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² – (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.

Bài 17: Tìm m để phương trình: (m² + m + 1)x² + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 18 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Bài 18. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :

0" width="256" height="24" data-type="0" data-latex="a) 3 x^2+2(m-1) x+m+4>0" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

0" width="245" height="24" data-type="0" data-latex="b) x^2+(m+1) x+2 m+7>0" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

0" width="245" height="24" data-type="0" data-latex="c) 2 x^2+(m-2) x-m+4>0" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

0" width="332" height="24" data-type="0" data-latex="e) (m-1) x^2-2(m+1) x+3(m-2)>0" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">

3" width="342" height="26" data-type="0" data-latex="f) left|3(m+6) x^2-3(m+3) x+2 m-3right|>3" class="lazy" data-src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png">