Top 20+ Ý Nghĩa Hình Học Của Tích Phân – Tích phân – Wikipedia tiếng Việt

Bạn đang tìm kiếm về Ý Nghĩa Hình Học Của Tích Phân, hôm nay team mình sẽ chia sẻ đến bạn nội dung Top 20+ Ý Nghĩa Hình Học Của Tích Phân được team mình tổng hợp và biên tập từ nhiều nguồn trên internet. Hy vòng bài viết về chủ đề Ý Nghĩa Hình Học Của Tích Phân hữu ích với bạn.

Tích phân – Wikipedia tiếng Việt

Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích S được giới hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến b
Một phần của loạt bài vềVi tích phân
Định lý cơ bản
Quy tắc tích phân Leibniz

Giới hạn của hàm số
Tính liên tục

Định lý giá trị trung bình
Định lý Rolle

Vi phân
Định nghĩa
Đạo hàm (Tổng quát)

Vi phân
vô cùng bé
hàm số
toàn phần

Khái niệm

Ký hiệu vi phân
Đạo hàm bậc hai
Vi phân ẩn
Định lý Taylor

Quy tắc và đẳng thức

Cộng
Nhân
Dây chuyền
Lũy thừa
Chia
Quy tắc l’Hôpital
Hàm ngược
Leibniz tổng quát
Công thức Faà di Bruno

Tích phân
Danh sách tích phân
Biến đổi tích phân

Định nghĩa
Nguyên hàm
Tích phân (suy rộng)
Tích phân Riemann
Tích phân Lebesgue
Tích phân theo chu tuyến
Tích phân của hàm ngược

Kỹ thuật
Từng phần
Đĩa
Vỏ
Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler)
Công thức Euler
Đổi trật tự
Công thức truy hồi
Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân

Chuỗi
Hình học (số học-hình học)
Điều hòa
Đan dấu
Lũy thừa
Nhị thức
Taylor

Tiêu chuẩn hội tụ
Số hạng
d’Alembert
Cauchy
Tích phân
So sánh
So sánh giới hạn
Chuỗi đan dấu
Cô đọng Cauchy
Dirichlet
Abel

Vectơ
Gradien
Div
Rot
Laplace
Đạo hàm có hướng
Đẳng thức

Định lý
Gauss
Gradient
Green
Kelvin–Stokes
Stokes

Nhiều biến
Chủ đề
Ma trận
Tenxơ
Đạo hàm ngoài
Hình học

Định nghĩa
Đạo hàm riêng
Tích phân bội
Tích phân đường
Tích phân mặt
Tích phân thể tích
Ma trận Jacobi
Ma trận Hesse

Chuyên ngành
Malliavin
Ngẫu nhiên
Phép tính biến phân

Thuật ngữ
Thuật ngữ giải tích

xts
Tích phân là một khái niệm toán học và cùng với nghịch đảo của nó vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật… Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.
Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là:

∫

a

b

f
(
x
)

d
x

displaystyle int _a^b!f(x),dx,

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.
Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.
Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:

∫

f
(
x
)

d
x

=

F
(
x
)

+

C

displaystyle int !f(x),dx,=,F(x),+,C

Nhiều định nghĩa tích phân có thể được xây dựng dựa vào lý thuyết độ đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.

Lược sử tích phân[sửa | sửa mã nguồn] Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây trên 2.100 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite (1822–1901) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski.
Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau đã không ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà toán học đóng góp cho công việc này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.
Vào năm 1969, R. H. Risch đã đóng góp một phát triển vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng công trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân khá khó. Những phát triển tiếp nối của nhiều nhà toán học khác đã giúp giải được phương trình vi phân này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 đã có những tiến bộ mở rộng phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt.
Từ thập niên 1990 trở lại đây, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica, Maple,…

Thuật ngữ và ký pháp[sửa | sửa mã nguồn] Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân của một hàm số thực f(x) trên x, được viết là:

∫
f
(
x
)

d
x

displaystyle int f(x),dx

Với:

∫ là “tích phân”
f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
dx biểu diễn việc tích phân trên x. dx được gọi là biến của tích phân. Trong topo toán học, việc biểu diễn chính xác là dx được tách ra khỏi hàm được tích phân (integrand) bằng một dấu cách.
Ta có thể thay đổi biểu thức f(x)dx bằng biểu thức f(t)dt hoặc bất kỳ một đối số nào như f(y)dy, f(u)du dưới dấu tích phân.
Một số tính chất của tích phân[sửa | sửa mã nguồn] [sửa | sửa mã nguồn] Danh sách các tích phân cơ bản[sửa | sửa mã nguồn] Còn gọi là danh sách của các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.[1]

Phân loại tích phân[sửa | sửa mã nguồn] Tích phân Riemann[sửa | sửa mã nguồn] Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận trên và cận dưới) và tích phân bất định. Tích phân Riemann xác định của hàm f(x) với x chạy trong khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) được viết là:

∫

a

b

f
(
x
)

d
x

displaystyle int _a^bf(x),dx

Dạng bất định (không có cận) được viết là:

∫

f
(
x
)

d
x

displaystyle int _^f(x),dx

Theo định lý cơ bản thứ nhất của giải tích, nếu F(x) là tích phân bất định của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác định được tính từ tích phân bất định như sau:

∫

a

b

f
(
x
)

d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)

displaystyle int _a^bf(x),dx=F(b)-F(a)

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại cùng lúc nhiều hàm số sai khác nhau bằng hằng số tích phân C thoả mãn điều kiện cùng có chung vi phân, bởi vì vi phân của hằng số bằng 0:

∫

f
(
x
)

d
x
=
F
(
x
)
+
C

displaystyle int _^f(x),dx=F(x)+C

Ngày nay biểu thức toán học của tích phân bất định có thể được tính cho nhiều hàm số tự động bằng máy tính. Giá trị số của tích phân xác định có thể được tìm bằng các phương pháp số, ngay cả khi biểu thức toán học của tích phân bất định tương ứng không tồn tại.
Định lý cơ bản thứ nhất của giải tích được thể hiện ở đẳng thức sau:

d

d
x

∫

a

b

f
(
x
)

d
x
=
f
(
x
)

displaystyle frac ddxint _a^bf(x),dx=f(x)

và

d

d
x

∫

a

b

f
(
x
)

d
x
=
−
f
(
x
)

displaystyle frac ddxint _a^bf(x),dx=-f(x)

Tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không thể biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản. Dưới đây là một vài ví dụ:

∫

e

−

x

2

d
x

displaystyle int _^e^-x^2,dx

,

∫

e

−
x

x

d
x

displaystyle int _^frac e^-xx,dx

,

∫

sin
⁡
x

x

d
x

displaystyle int _^frac sin xx,dx

,

∫

cos
⁡
x

x

d
x

displaystyle int _^frac cos xx,dx

Tích phân Lebesgue[sửa | sửa mã nguồn] Một hàm

f

displaystyle f

được gọi là một hàm đơn giản nếu tập ảnh của nó là hữu hạn.[2] Gọi các giá trị của tập ảnh là

α

1

,
…
,

α

n

displaystyle alpha _1,dots ,alpha _n

và đặt

A

i

=

x
:
f
(
x
)
=

α

i

displaystyle A_i=x:f(x)=alpha _i

, ta có

f
=

∑

i
=
1

n

α

i

χ

A

i

displaystyle f=sum _i=1^nalpha _ichi _A_i

trong đó

χ

A

i

displaystyle chi _A_i

là hàm chỉ thị của tập hợp

A

i

displaystyle A_i

.
Gọi

μ

displaystyle mu

là một độ đo không âm trên một không gian độ đo

X

displaystyle X

và

f

displaystyle f

là một hàm đơn giản

f
:
X
→
[
0
,
∞
)

displaystyle f:Xto [0,infty )

. Hàm

f

displaystyle f

là đo được khi và chỉ khi các tập hợp

A

i

displaystyle A_i

là đo được.[2] Tích phân của

f

displaystyle f

theo độ đo

μ

displaystyle mu

trên một tập con đo được

E
⊂
X

displaystyle Esubset X

được định nghĩa là

∫

E

f
d
μ
=

∑

i
=
1

n

μ
(

A

i

∩
E
)

displaystyle int _Efdmu =sum _i=1^nmu (A_icap E)

Nếu

F

displaystyle F

là một hàm không âm đo được, ta định nghĩa

∫

E

F
d
μ
=

sup

0
≤
f

 đơn giản 

≤
F

∫

E

f
d
μ

displaystyle int _EFdmu =sup _0leq ftext đơn giản leq Fint _Efdmu

.[3] Một hàm

F

displaystyle F

được gọi là khả tích Lebesgue nếu

∫

X

|
F
|
d
μ
<
∞

displaystyle int _Xvert Fvert dmu <infty

. Ký hiệu

F

+

=
max

f
,
0

displaystyle F^+=maxf,0

và

F

−

=
−
min

f
,
0

displaystyle F^-=-minf,0

. Đây đều là các hàm không âm. Thế thì tích phần của

F

displaystyle F

là

∫

E

F
d
μ
=

∫

E

F

+

d
μ
−

∫

E

F

−

d
μ

displaystyle int _EFdmu =int _EF^+dmu -int _EF^-dmu

Định lý Lebesgue về sự hội tụ đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn] Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn[sửa | sửa mã nguồn] Bổ đề Fatouer[sửa | sửa mã nguồn] Bài chi tiết: Bổ đề Fatou
Các loại tích phân khác[sửa | sửa mã nguồn] Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được sử dụng rộng rãi, còn có một số loại tích phân khác như:

Tích phân Riemann-Stieltjes, một mở rộng của tích phân Riemann.
Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát hóa tích phân Riemann-Stieltjes và Lebesgue, được phát triển bởi Johann Radon.
Tích phân Daniell
Tích phân Haar
Tích phân Henstock-Kurzweil
Tích phân Itō và Stratonovich
Tích phân Young
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn] Vi phân
Giới hạn
Hàm số
Đạo hàm
Tích phân đường
Tích phân mặt
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

^ Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.185

^ a b Walter, R. (1987), tr.15, định nghĩa 1.6

^ Walter, R. (1987), tr.19

^ Walter, R. (1987), tr. 25

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn] Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chương trình mới nhất (Tái bản lần 1). Nhà xuất bản Đại học sư phạm,, Hà Nội 2011.
Havil, J. (2003), Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 29.
Kaplan, W. (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley.
Toán học là gì?
Walter, R. (1987), Real and Complex Analysis, intl edi., McGraw-Hill Education.
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Tích phân.

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Tích phân Riemann.

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Integral calculus.

The Integrator by Wolfram Research
Function Calculator from WIMS
P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) – a cookbook of definite integral techniques
Sách trực tuyến[sửa | sửa mã nguồn] Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Lưu trữ 2005-09-11 tại Wayback Machine, University of Iowa
Mauch, Sean, Sean’s Applied Math Book Lưu trữ 2006-04-15 tại Wayback Machine, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
Wikibook of Calculus
Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute

Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.xts

Các chủ đề chính trong toán học

Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê

Tích Phân – Bản Chất Của Tích Phân (Integral intro) từ Youtube

#Toanhoc #giải_tích #toán #tích_phân #viphan

TÍCH PHÂN – BẢN CHẤT CỦA TÍCH PHÂN LÀ GÌ?

Hello các bạn, sau hơn 1 tháng ở ẩn thì hôm nay Vật Lý Chill đã quay trở lại rồi đây! Lần này, tụi mình sẽ mang đến cho các bạn một chủ đề mà chắc chắn rằng các bạn đã chờ đợi rất lâu rồi – TÍCH PHÂN, với animation được “nâng cấp” rất nhiều cùng nội dung và kiến thức được chắt lọc rất kĩ lưỡng.

Trong video lần này, tụi mình sẽ nói về “Bản chất của tích phân là gì?” cùng ứng dụng của nó trong việc tính diện tích. Sau video này, chắc chắn trong tương lai không xa tụi mình sẽ đăng tiếp chủ đề Nguyên hàm – một chủ đề liên quan mật thiết đến Đạo hàm và Tích phân.

Vậy thì các bạn còn chần chờ gì nữa, hãy click vào và đón xem ngay nhé!

Xem các video trước:
Độ dốc: https://youtu.be/mn4JSg1NzOs
Giới hạn hàm số: https://youtu.be/qomAN9q8mLM
Giới hạn đến vô cực: https://youtu.be/v4M0LUTNlJg
Đạo hàm: https://youtu.be/HIGllE3N-iw
——————————————————————————————————————————————————–

Timeline:
0:00 Mở đầu
1:07 Tìm diện tích cơ bản
1:55 Diện tích S bí ẩn
6:16 Giá trị cuối cùng của S là gì?
7:29 Tìm S một cách tổng quát
8:48 Tổng Riemann
9:52 Tích phân
12:22 Các tính chất khác của tích phân
13:18 Tích phân đảo cận
14:31 Kết thúc

Đánh giá: 4-5 sao
Lượt đánh giá: 5223